3 zadania z równaniami, z którymi nie mogę sobie poradzić :(

[Sir Iron]

1) Rozwiąż równanie:
a) \(\displaystyle{ \mbox{18}x +(\mbox{3}x-2)^{2}-5= \mbox{18}x^{3}-\mbox{2}x^{3}}\)

b) \(\displaystyle{ 2x^{3}+(2x-3)^{2}-10=17x^{2}-20x}\)

2) Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x^{3}- \mbox{3}x^{2}- \mbox{6}x -2=0}\)

3) Znajdź takie liczby \(\displaystyle{ a,b \in R}\), aby była spełniona równość:
\(\displaystyle{ (ax^{2}-bx-3) (x- \frac{1}{3} )= 6x^{3}-29x^{2}+6x+1}\)

Chodzi mi generalnie o pomoc w ustaleniu sposobu rozwiązania tych zadań, argumentacji dlaczego tym sposobem i jak mniej więcej ma wyglądać rozwiązanie 'krok po kroku' oraz wykres. Mam jeszcze jedno pytanie: czy wykres rysujemy w każdym zadaniu w którym rozwiązujemy równanie/nierówność?


Z góry dzięki za pomoc

[Rogal]

Sposób jest dość prosty i przejrzysty - sprowadzasz równania do postaci takiej, jak w zadaniu 2).
Następnie, jeśli nic się nie rzuca w oczy (jakiś wzór skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias), to szukamy pierwiastków tego równania wśród dzielników wyrazu wolnego.
W trzecim zaś trzeba to po lewej wymnożyć i zastanowić się (albo przypomnieć definicję), kiedy dwa wielomiany są sobie równe.

[Sir Iron]

2 zadania zrobiłem, proszę o sprawdzenie czy wszystko wyliczyłem tak jak trzeba:

1b)
\(\displaystyle{ 2x^{3}-13x^{2}+8x-1=0



W\left( \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} -3 \frac{1}{4} +4-1=0


\left(2x^{3}-13x^{2}+8x-1\right):\left(x- \frac{1}{2}\right) = \left(x- \frac{1}{2} \right)\left(2x^{2}-12x+2\right)

\left(x- \frac{1}{2} \right)\left(2x^{2}-12x+2\right)=0

x = \frac{1}{2}

\Delta=128

\sqrt{\Delta} = \sqrt{128}

x_{1} =3-\sqrt{128}

x_{2} =3+\sqrt{128}}\)

2)

\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{2}-6x-2=0

W \left( -1\right) =-1-3+6-2=0

\left( x^{3}-3x^{2}-6x-2=0\right) : \left( x+1\right)


\left( x+1\right) \left( x^{2}-4x-2\right)

x= -1

\Delta=24

\sqrt{\Delta} = \sqrt{24}

x_{1} =2-\sqrt{24}

x_{2} =2+\sqrt{24}}\)

Co do 1a, to nadal nie mam pojęcia jak to rozwiązać ;(
Prosiłbym o jakieś bardziej szczegółowy opis rozwiązania 3 zadania, ono jest dla mnie najtrudniejsze, kompletnie nie wiem co mam tam robić..

[marcinn12]

Zadanie 1 wydaję się poprawne gdyż mi wychodzi tak samo

\(\displaystyle{ 2x^{3}+(2x-3)^{2}-10=17x^{2}-20x}\)
\(\displaystyle{ 2x^{3}+4x^{2}-12x+9-10-17x^{2}+20x=0}\)
\(\displaystyle{ 2x^{3}-13x^{2}+8x-1=0}\)

\(\displaystyle{ W( \frac{1}{2})= \frac{1}{4} - \frac{13}{4} +4-1 =0}\)

Dzieleniem horenrem i otrzymujemy wielomian w takiej postaci:

\(\displaystyle{ 2(x- \frac{1}{2})(x^{2}-6x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ 2(x- \frac{1}{2})(x-3- 2\sqrt{2} )(x-3+2 \sqrt{2})=0}\)

Czyli rozwiazaniem równania są liczby:
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=3-2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=3+2 \sqrt{2}}\)

Zadanie 2 jest OK.

-- 25 lutego 2009, 14:31 --

Zadanie 3
\(\displaystyle{ (ax^{2}-bx-3) (x- \frac{1}{3} )= 6x^{3}-29x^{2}+6x+1}\)
\(\displaystyle{ ax^{3}- \frac{1}{3}ax^{2}-bx^{2}+ \frac{1}{3}bx-3x+1= 6x^{3}-29x^{2}+6x+1}\)
\(\displaystyle{ ax^{3}+x^{2}(- \frac{1}{3}a-b)+x( \frac{1}{3}b-3)+1= 6x^{3}-29x^{2}+6x+1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{1}{3}a-b=29 \\ \frac{1}{3}b-3=6 \\a=6 \end{cases}}\)

Poprzestawiało mi się tutaj, ale juz poprawiłem.

[Rogal]

No i a = 6.

[Sir Iron]

Dzięki wam za wszystko, zrobiłem już wszystkie zadania. Co więcej, dzięki wam wszystko rozumiem co dobrze wróży na przyszły sprawdzian