wielomian z parametrem, liczba rozwiązań równania

[iga2106]

1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=-x^{3}-(1-m)x^{2}+(m-6)x}\)
a) dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) ma pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny. Oblicz te pierwiastki.
b) dla najmniejszej znalezionej wartości parametru m rozwiąż równanie \(\displaystyle{ W(x)+x^{3}+8,5x^{2}+12,5x=[x]+3}\)

2. Określi liczbę różnych rozwiązań równiania \(\displaystyle{ (x^{3}+5x^{2}+8x+4)[(m+2)x^{2}-6mx+4m-1]=0}\) w zależności od parametru m. Narysuj wykres funkcji, która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań powyższego równania.

[Mersenne]

Zad. 1

Zauważ, iż wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=-x[x^{2}+(1-m)x-(m-6)]}\)

Jeśli ta wskazówka nie pomoże, to napisz proszę.

[iga2106]

chodzi o to, że za bardzo nie wiem jak znaleźć te pierwiastki, żeby tworzyły ciąg arytmetyczny... korepetytor daje mi takie zadania przygotowujące do matury, twierdząć, że jeżeli te zrobie to zrobie również te maturalne... niestety nie mam pomysłu jak to rozwiązać...

[Mersenne]

\(\displaystyle{ W(x)=0 \iff -x[x^{2}+(1-m)x-(m-6)]=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff x=0 \vee x^{2}+(1-m)x-(m-6)=0}\)

Jednym z wyrazów ciągu arytmetycznego jeste \(\displaystyle{ 0}\). Drugie równanie jest równaniem kwadratowym- jaki musi zachodzić warunek, aby miało ono dwa pierwiastki (ciąg arytmetyczny musi być co najmniej trzywyrazowy), kiedy pierwiastki wielomianu utworzą taki ciąg?

[iga2106]

zeby byly dwa pierwiastki to delta musi byc wieksza od zera, mysle ze sobie poradze dalej ;p dziękuję

[Mersenne]

Masz takie przypadki:

\(\displaystyle{ (0,x_{1},x_{2}) \vee (x_{1},0,x_{2}) \vee (x_{1},x_{2},0)}\)

Z właśności ciągu arytmetycznego:

\(\displaystyle{ 2x_{1}=x_{2} \vee x_{1}+x_{2}=0 \vee 2x_{2}=x_{1}}\)