Zadanie 1
Dla jakich wartości patametru k reszta z dzielenia wielomianu W(x) = \(\displaystyle{ x^{5}}\) + (\(\displaystyle{ k^{3}}\) + 3\(\displaystyle{ k^{2}}\))\(\displaystyle{ x^{3}}\) - 2(\(\displaystyle{ k^{2}}\) + 2k)x - k przez dwumian x-1 nie jest większa od (-2)?
Z góry dzięki
Parametr
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Parametr
\(\displaystyle{ W(x)=x^{5}+(k^{3}+3k^{2})x^{3}-2(k^{2}+2k)x-k}\)
Resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-p)}\) możemy obliczyć korzystając z tego, że \(\displaystyle{ W(p)=R}\).
W naszym przypadku reszta \(\displaystyle{ R}\) z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) jest równa \(\displaystyle{ R=W(1)}\).
\(\displaystyle{ W(1)=1+k^{3}+3k^{2}-2(k^{2}+2k)-k=1+k^{3}+3k^{2}-2k^{2}-4k-k=k^{3}+k^{2}-5k+1}\)
\(\displaystyle{ R=k^{3}+k^{2}-5k+1}\)
Reszta \(\displaystyle{ R}\) ma być nie większa niż \(\displaystyle{ -2}\), zatem musi być spełniona nierówność:
\(\displaystyle{ k^{3}+k^{2}-5k+1\leq -2}\).
\(\displaystyle{ k^{3}+k^{2}-5k+1\leq -2 \iff k^{3}+k^{2}-5k+3\leq 0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff k^{2}(k-1)+2k(k-1)-3(k-1)\leq 0 \iff (k-1)(k^{2}+2k-3)\leq 0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff (k-1)(k-1)(k+3)\leq 0 \iff (k-1)^{2}(k+3)\leq 0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff k\in (-\infty;-3> \cup \{1\}}\)
Odp.: \(\displaystyle{ k\in (-\infty;-3> \cup \{1\}}\)
Resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-p)}\) możemy obliczyć korzystając z tego, że \(\displaystyle{ W(p)=R}\).
W naszym przypadku reszta \(\displaystyle{ R}\) z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) jest równa \(\displaystyle{ R=W(1)}\).
\(\displaystyle{ W(1)=1+k^{3}+3k^{2}-2(k^{2}+2k)-k=1+k^{3}+3k^{2}-2k^{2}-4k-k=k^{3}+k^{2}-5k+1}\)
\(\displaystyle{ R=k^{3}+k^{2}-5k+1}\)
Reszta \(\displaystyle{ R}\) ma być nie większa niż \(\displaystyle{ -2}\), zatem musi być spełniona nierówność:
\(\displaystyle{ k^{3}+k^{2}-5k+1\leq -2}\).
\(\displaystyle{ k^{3}+k^{2}-5k+1\leq -2 \iff k^{3}+k^{2}-5k+3\leq 0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff k^{2}(k-1)+2k(k-1)-3(k-1)\leq 0 \iff (k-1)(k^{2}+2k-3)\leq 0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff (k-1)(k-1)(k+3)\leq 0 \iff (k-1)^{2}(k+3)\leq 0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff k\in (-\infty;-3> \cup \{1\}}\)
Odp.: \(\displaystyle{ k\in (-\infty;-3> \cup \{1\}}\)