Rozkład wielomianów na czynniki

[Tala]

Witam
mam problem, nie potrafię rozłożycz poniższych wielomianów

\(\displaystyle{ W(x)=2x^4+x^3+4x^2+x+2}\)
\(\displaystyle{ W(x)= x^3-3x+2}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+9}\)


proszę o pomoc

[Tristan]

\(\displaystyle{ W(x)=x^3-3x+2=x^3-x-2x+2=x(x^2-1)-2(x-1)=(x-1)[x(x+1)-2]=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+9=x^4+6x^2+9-6x^2=(x^2+3)^2-( \sqrt{6} x)^2=(x^2- \sqrt{6}x+3)(x^2+ \sqrt{6}x+3)}\)

[Tala]

Dzięki za pomoc

mam jeszcze pytanie czy są wzory skróconego mnożenia do czwartego stopnia?

[dem]

Są możesz dla dowolnego stopnia wyprowadzać w oparciu o trójkąt Pascala.

[ymar]

w kolejne liczby i-tego wiersza to współczynniki kolejnych potęg wielomianu (x+1)^i.

[Tristan]

Tak, są. Np. tutaj , ale w przykładzie pierwszym Ci się one nie przydadzą:)
Widzimy, że x=0 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu więc podzielmy go przez \(\displaystyle{ x^2}\), otrzymamy wtedy:
\(\displaystyle{ 2x^2+x+4+ \frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}\)
A po przegrupowaniu:
\(\displaystyle{ 2(x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})+4}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{x})^2=x^2+2+ \frac{1}{x}}\). Do naszego wyrażenia podstawmy więc \(\displaystyle{ z=x+\frac{1}{x}}\) a otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2(z^2-2)+z+4=2z^2-4+z+4=2z(z+\frac{1}{2})}\)
Czyli \(\displaystyle{ z=0 z=-\frac{1}{2}}\).Z tego mamy, że:
\(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}=0 x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}}\)
Wymnażając przez iksa otrzymamy już dwa wielomiany nierozkładalne stopnia drugiego, tj:
\(\displaystyle{ x^2+1=0 x^2+\frac{1}{2}x+1=0}\)
Więc nasz wielomian W(x) możemy rozłożyć jedynie na takie czynniki:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^4+x^3+4x^2+x+2=2(x^2+1)(x^2+\frac{1}{2}x+1)}\)

[Tala]

ok dzięki, już to rozumiem
chociaż są ludzie, którzy umieją tłumaczyć, bo u mnie nauczycielka to w ogóle tego nie tłumaczyła, tylko zadała i koniec, a my mamy to zrobić

wielkie dzięki