dla jakiego parametru

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
wwaaxx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 14 sty 2009, o 17:15
Podziękował: 6 razy

dla jakiego parametru

Post autor: wwaaxx »

Dla jakiego parametru \(\displaystyle{ a\in R}\) równanie \(\displaystyle{ x^{3}+ax-2=0}\) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty w przedziale (0;1) ?
rubik1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 520
Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 86 razy

dla jakiego parametru

Post autor: rubik1990 »

Wystarczy, że będzie spełniony warunek \(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)>0\\ f(0)<0 \end{cases}}\), albo \(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)<0 \\ f(0)>0 \end{cases}}\)
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

dla jakiego parametru

Post autor: Mersenne »

1. Zauważ, iż funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+ax-2}\) jest funkcją wielomianową, zatem jest ciągła w swojej dziedzinie, tj. zbiorze liczb rzeczywistych. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w przedziale \(\displaystyle{ (0;1)}\).

2. Twierdzenie Darboux
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) ciągła w przedziale \(\displaystyle{ <a;b>}\) przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy wartością najmniejszą i największą tej funkcji w przedziale \(\displaystyle{ <a;b>}\).
W szczególności, jeżeli \(\displaystyle{ f(a)}\) i \(\displaystyle{ f(b)}\) są różnych znaków, to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ c\in (a;b)}\), że \(\displaystyle{ f(c)=0}\).

U nas równanie \(\displaystyle{ x^{3}+ax-2=0}\) ma mieć co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty w przedziale \(\displaystyle{ (0;1)}\).

\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+ax-2}\)

\(\displaystyle{ f(0)=-2}\)

\(\displaystyle{ f(1)=a-1}\)

\(\displaystyle{ f(1)>0 \iff a-1>0 \iff a>1 \iff a\in (1;+\infty)}\)

Dla \(\displaystyle{ a\in (1;+\infty)}\) \(\displaystyle{ f(0)}\) i \(\displaystyle{ f(1)}\) są różnych znaków, zatem istnieje co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty należący do przedziału \(\displaystyle{ (0;1)}\).
ODPOWIEDZ