Rozkład na czynniki

[thelian]

Nauczycielka nam kiedyś powiedziała, że każdy wielomian można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia 2

wiec jak mozna rozłożyć takie coś:
\(\displaystyle{ x^{4} +x^{2} +2}\)

[tkrass]

Łatwo zauważyć, że ten wielomian jest \(\displaystyle{ \ge 2}\), więc trudno tu mówić o czynnikach stopnia większego od zera.

Gdybyś miał coś takiego:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}-2}\)
to rozmowa wygląda inaczej:
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}-2=(x^{2}+2)(x^{2}-1)}\)

[thelian]

no to wiem
czyli nie kazdy wielomian da sie rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia 2

@down: Dziękuje

[Rogal]

Każdy. Można to mniej lub bardziej dosadnie dowodzić, ale każdy.
\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}+2 = x^{4} + 2\sqrt{2} x^{2} + (\sqrt{2})^{2} - (2\sqrt{2}-1)x^{2} = (x^{2} + \sqrt{2})^{2} - (x\sqrt{2\sqrt{2}-1})^{2} = (x^{2} - x\sqrt{2\sqrt{2}-1} + \sqrt{2})(x^{2}+x\sqrt{2\sqrt{2}-1} + \sqrt{2})}\)

[baklazan]

Jak to dobrze poprzeglądać forum - właśnie miałem zadać bardzo podobne pytanie.
@Rogal: Jak doszedłeś do tego rozbicia na czynniki? Są na to jakieś sposoby, czy zrobiłeś wszystko w pamięci? Jak widzę kolejne etapy, to dochodzę do wniosku, że mógłbym i miesiąc się zastanawiać, nic bym nie wymyślił.

[Rogal]

To taki stary sposób - dopełniamy do pełnego kwadratu i odejmujemy to, co zbędne - też jest kwadratem, więc mamy wzór na różnicę kwadratów i rozkładamy.