Witam,
Jak rozwiązać to zadanie:
Równanie \(\displaystyle{ x^3 + px^2 + qx - 4 = 0}\) ma trzy całkowite rozwiązania, z których dwa są równe, a trzecie jest o 3 większe od pozostałych. Wyznacz p i q.
Dziękuję z góry !
Wielomian stopnia 3-go - wyznaczenie współczynników
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 18 wrz 2005, o 16:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów
- Podziękował: 22 razy
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Wielomian stopnia 3-go - wyznaczenie współczynników
Znasz może wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego?
Jeżeli mamy wielomian \(\displaystyle{ t^3+pt^2+qt+r=0}\) w którym są pierwiastki a,b,c to:
\(\displaystyle{ p=-a-b-c}\)
\(\displaystyle{ q=ab+bc+ac}\)
\(\displaystyle{ r=-abc}\)
Zakładając, że te pierwiastki to a=b i c, (a wtedy c=a+3)to własnie z tych wzorów otrzymujemy( a dokładniej, z tego ostatniego), że \(\displaystyle{ 4=a^2(a+3)}\). Ponieważ a,b,c są całkowite ,to jedyne a spełniające to równanie to a=-2. Czyli b=-2. No i wtedy c=1. Teraz ( z tych wzorów) obliczamy, że p=3 i q=0. Nasz wielomian wygląda nastęująco \(\displaystyle{ x^3+3x^2-4=0}\) i rzeczywiście, możemy go rozłożyć na \(\displaystyle{ (x-1)(x+2)^2=0}\).
Jeżeli mamy wielomian \(\displaystyle{ t^3+pt^2+qt+r=0}\) w którym są pierwiastki a,b,c to:
\(\displaystyle{ p=-a-b-c}\)
\(\displaystyle{ q=ab+bc+ac}\)
\(\displaystyle{ r=-abc}\)
Zakładając, że te pierwiastki to a=b i c, (a wtedy c=a+3)to własnie z tych wzorów otrzymujemy( a dokładniej, z tego ostatniego), że \(\displaystyle{ 4=a^2(a+3)}\). Ponieważ a,b,c są całkowite ,to jedyne a spełniające to równanie to a=-2. Czyli b=-2. No i wtedy c=1. Teraz ( z tych wzorów) obliczamy, że p=3 i q=0. Nasz wielomian wygląda nastęująco \(\displaystyle{ x^3+3x^2-4=0}\) i rzeczywiście, możemy go rozłożyć na \(\displaystyle{ (x-1)(x+2)^2=0}\).