Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu

[mariusz689]

R-7
Zadanie 2.
Liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian\(\displaystyle{ P(x)=x ^{2} -3x + 2}\) jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) otrzymujemy resztę \(\displaystyle{ 5}\).

[lukki_173]

Z def. miejsca zerowego:
\(\displaystyle{ W(2)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)}\)
Z tw. Bezout:
\(\displaystyle{ W(1)=5}\)
Istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) taki, że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-3x+2)\cdotQ(x)+ax+b}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ ax+b}\) - szukana reszta
Zatem:
\(\displaystyle{ W(2)=(2^2-3\cdot2+2)\cdot Q(2)+2a+b=0 \\
W(1)=(1^2-3\cdot1+2)\cdot Q(1)+a+b=5}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}2a+b=0 \\
a+b=5 \end{cases} \\
\begin{cases}a=5-b \\
2(5-b)+b=0 \end{cases} \\
10-b=0 \Rightarrow b=10 \\
a+10=5 \Rightarrow a=-5}\)

Wstawiamy do wzoru \(\displaystyle{ ax+b}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ -5x+10}\)

Odp. Szukana reszta wynosi \(\displaystyle{ -5x+10}\)
Pozdrawiam