Wielomiany - 4 zadania

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Psycho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 68 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Psycho »

1) Wyznacz resztę \(\displaystyle{ R(x)}\) z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ D(x)= x^{3} + 2x^{2} - x -1}\), gdy \(\displaystyle{ W(-1)=-1, W(2)=2}\)
2) Rozwiąż \(\displaystyle{ x^{4} - 10x^{3}+ 26x^{2} - 10x + 1 = 0}\)
3)Wykaż, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ P(x)= (9x^{7} + 8x^{4} - 5)^{n} - (x^{9} -4x^{6} + 8)^{n}}\) jest podzielna przez 7.
4)Wykaż, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ P(x)= (x^{12} + 8x^{4} + 5)^{n} - (x^{9} -x^{6} + 8)^{n}}\) jest podzielna przez 2 i 3 dla każdego n naturalnego.

Dzięki
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: piasek101 »

2. Zrób tak jak podałem w tym wątku na końcu (masz ,,symetryczny" wielomian) :
107412.htm
Awatar użytkownika
Psycho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 68 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Psycho »

No tak, wyszło, fajny sposób. Zostały 3 zadania (2 podobne) , wystarczy mała podpowiedź, a powinienem sobie już poradzić..
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Rogal »

Pierwsze jest jakieś podejrzane.
Co do pozostałych dwóch, to tylko zastanów się, jak policzyć sumę współczynników danego wielomianu, nie znając samych współczynników.
Awatar użytkownika
Psycho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 68 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Psycho »

Pierwsze przepisane jest dobrze, a wziąłem je raczej z pewnego źródła, pewnie istnieje jakieś sprytne rozwiązanie. Jak zrobisz jedno z pozostałych do drugie raczej będzie szło w podobny sposób, powodzenia:P
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Rogal »

To ja Tobie powodzenia, bo jak wiem, jak je zrobić. Chodzi o to, byś i Ty wiedział na przyszłość.
Awatar użytkownika
Psycho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 68 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Psycho »

Sorry, przeczytałem twój post za szybko i źle go zrozumiałem i potem odpisałem głupstwo , oczywiście masz rację. Nie powinien on mieć miejsca.

Co do twojej podpowiedzi, to niestety nie wiem jak to zrobić..
gribby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 1 sty 2009, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 13 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: gribby »

Suma współczynników wielomianu W(x) będzie równa W(1). Dalej z indukcji (czy zaciąłeś się dalej? Jak tak to napisz do czego doszedłeś i w czym jest problem)

1. Brakuje mi tu jeszcze czegoś...
Awatar użytkownika
Psycho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 68 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: Psycho »

Dobra, dzięki, wreszcie zrozumiałem sens tych zadań oraz rozwiązanie. Zadanie 1) przepisałem dobrze, lecz czy jest "rozwiązywalne" to pewności nie mam.
gribby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 1 sty 2009, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 13 razy

Wielomiany - 4 zadania

Post autor: gribby »

Mamy:
W(-1)=-1
W(2)=2 dwa równania i trzy niewiadome-dziwne
reszta będzie co najwyżej stopnia drugiego
z układu równań dochodzimy do:
a+b=1, wiemy, ze a jest dodatnią liczbą rzeczywistą
Tyle-chyba za mało danych, jakbyś do czegoś doszedł to daj znać
ODPOWIEDZ