Oblicz sumę współczynników wielomianu W(x)=(4x^2-3x-2)

[dk87]

witam. mam taki problem:
ile wynosi suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( 4x^2-3x-2 \right) ^{2003}}\)
i dlaczego jesli moze cie wytlumaczyc?

[Skrzypu]

Suma współczynników wyniesie tyle samo jakby nie było \(\displaystyle{ x}\), więc

\(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( 4x^2-3x-2 \right) ^{2003} \\
\left( 4-3-2 \right) ^{2003}= \left( -1 \right) ^{2003}=-1}\)

Suma współczynników jak widać wynosi -1

[Yavien]

Uzupelnie/uscisle jeszcze:
Jesli mamy wielomian, np \(\displaystyle{ W(x) = 2x^3 + 4x^2 +3x + 1}\)
to latwo wypisac ile jest rowna suma wspolczynnikow, prawda? \(\displaystyle{ 2+4+3+1}\). Mamy te wspolczynniki podane jawnie, wiec po prostu dodajemy.
Ale mozna popatrzec inaczej:
\(\displaystyle{ W(1) = 2 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 +3 \cdot 1 + 1 = 2 + 4 + 3 + 1}\)
Latwo mozna formalnie wykazac, ze dla kazdego wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) suma wspolczynnikow bedzie rowna po prostu wartosci tego wielomianu w 1
suma wspolczynnikow = \(\displaystyle{ W(1)}\)