wyznacz resztę z dzielania wielomianu...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
irracjonalistka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 27 lis 2008, o 15:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

wyznacz resztę z dzielania wielomianu...

Post autor: irracjonalistka »

Liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu W(x). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{3}-3x+2}\) jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) otrzymujemy resztę 5.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

wyznacz resztę z dzielania wielomianu...

Post autor: Crizz »

Zachodzi (na mocy twierdzenia Bezout) \(\displaystyle{ W(1)=5}\), a także \(\displaystyle{ W(2)=0}\)

Wielomian W przedstawiamy w postaci \(\displaystyle{ W(x)=P(x)Q(x)+R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)}\) jest resztą z dzielenia wielomianu W przez P, a Q jest pewnnym wielomianem.
Otóż \(\displaystyle{ P(2)=P(1)=0}\), zatem:
\(\displaystyle{ W(2)=P(2)Q(2)+R(2)=R(2)}\)
\(\displaystyle{ W(1)=P(1)Q(1)+R(1)=R(1)}\)

Stopień wielomianu P jest równy dwa, zatem wielomian R jest stopnia najwyżej pierwszego; niech \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} R(1)=5 \\ R(2)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=5 \\ 2a+5=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-5 \\ b=10 \end{cases}}\)

odp.: \(\displaystyle{ R(x)=-5x+10}\).
gribby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 1 sty 2009, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 13 razy

wyznacz resztę z dzielania wielomianu...

Post autor: gribby »

\(\displaystyle{ P(2)=P(1)=0}\)
skąd to się wzięło? twierdzenie o reszcie mówi tylko o wyjściowym wielomianie W(x)

\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)-dlaczego reszta jest stopnia pierwszego? dzielimy przez wielomian stopnia trzeciego (P(x)), więc reszta jest stopnia co najwyżej drugiego, skąd wiesz, że pierwszego?
Awatar użytkownika
ppolciaa17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 15 lis 2008, o 10:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: NS/Kalisz/Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 99 razy

wyznacz resztę z dzielania wielomianu...

Post autor: ppolciaa17 »

tam na pewno jest sześcian ;|
Ostatnio zmieniony 11 lut 2009, o 20:35 przez ppolciaa17, łącznie zmieniany 1 raz.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

wyznacz resztę z dzielania wielomianu...

Post autor: Crizz »

Hmmm...
Chyba źle przeczytałem wzór wielomianu P.
irracjonalistka, jesteś pewna, że ten wielomian miał być stopnia treciego?
Jeśli tak, to nie wiem, czy zadanie w ogóle jest rozwiązywalne.
ODPOWIEDZ