Nie umiem ruszyć ; /
Dla jakiej wartości parametru m wielomian
\(\displaystyle{ W(x)= (x-1)(x ^{2} +mx+1)}\)
ma trzy rózne pierwiastki, których suma jest większa od 1?
trzy różne pierwiastki
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
trzy różne pierwiastki
Równanie \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1}\) musi mieć dwa różne pierwiastki, czyli:
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ m^{2}-4>0}\)
\(\displaystyle{ m\in (-\infty,-2) \cup (2,+\infty)}\)
Poza tym \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1}\) nie może dać się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (x-1)(x+a)}\); żeby \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1}\) było tożsamościowo równe \(\displaystyle{ (x-1)(x+a)}\), wyraz wolny w tym ostatnim wyrażeniu musi być równy 1, zatem \(\displaystyle{ a=-1}\); dla \(\displaystyle{ a=-1}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1 \equiv(x-1)^{2}}\) (ale ten przypadek już odrzuciliśmy poprzez warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\))
Suma pierwiastków (o ile istnieją) równania \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) wynosi -m (na mocy wzorów Viete'a), zatem suma wszystkich pierwiastków rozważanego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ -m+1}\), szukamy więc takich m, dla których:
\(\displaystyle{ -m+1>1}\)
\(\displaystyle{ m<0}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ m<-2}\).
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ m^{2}-4>0}\)
\(\displaystyle{ m\in (-\infty,-2) \cup (2,+\infty)}\)
Poza tym \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1}\) nie może dać się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (x-1)(x+a)}\); żeby \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1}\) było tożsamościowo równe \(\displaystyle{ (x-1)(x+a)}\), wyraz wolny w tym ostatnim wyrażeniu musi być równy 1, zatem \(\displaystyle{ a=-1}\); dla \(\displaystyle{ a=-1}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1 \equiv(x-1)^{2}}\) (ale ten przypadek już odrzuciliśmy poprzez warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\))
Suma pierwiastków (o ile istnieją) równania \(\displaystyle{ x^{2}+mx+1=0}\) wynosi -m (na mocy wzorów Viete'a), zatem suma wszystkich pierwiastków rozważanego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ -m+1}\), szukamy więc takich m, dla których:
\(\displaystyle{ -m+1>1}\)
\(\displaystyle{ m<0}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ m<-2}\).