Wielomiany

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
arekarekarek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 4 lut 2009, o 17:14
Płeć: Mężczyzna

Wielomiany

Post autor: arekarekarek »

Witam !
Mam pewien problem, dostałem na ferie test z powtórzeniem całego półrocza. Niestety nie wiem ja zrobić jego cześć dotyczącą wielomianów L Kiedy były lekcje byłem wtedy w szpitalu i teraz nic nie rozumiem L Mógł by mi ktoś pomoc z tymi zadaniami byłbym bardzo Wdzięczny

1. Podaj iloraz wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=}\)\(\displaystyle{ 2x^{5}}\) + \(\displaystyle{ x^{4}}\) - \(\displaystyle{ 4x^{3}}\)\(\displaystyle{ - x - 1}\) Przez dwumian \(\displaystyle{ P(x)= 2x + 1}\)]
2.Wielomiany \(\displaystyle{ W(x)= x^4 + (a - 1) x^2 + 7x - 8}\) i \(\displaystyle{ G(x)= x^4 + 2x^2 - (b-2) x-8}\) są równe, gdy:
A. \(\displaystyle{ a=-3}\) i \(\displaystyle{ b=5}\)
B. \(\displaystyle{ a=5}\) i \(\displaystyle{ b=3}\)
C. \(\displaystyle{ a=3}\) i \(\displaystyle{ b=-5}\)
D. \(\displaystyle{ a=-5}\) i \(\displaystyle{ b=3}\)
3. Podaj wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=( \frac{2}{3}-x ) (x^2-4)(x^2-3)}\)
4. Ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^5-7x^4-8x^3-3x^2-x-1}\) przez dwumian \(\displaystyle{ P(x)= x+1}\)
5. Znajdz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x^4-3x^3- 2x^2}\)
6. Jakie liczby są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x}\)

Pozdrawiam
Arek
veldrim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 29 sie 2008, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 4 razy

Wielomiany

Post autor: veldrim »

Musisz uzupełnić wiadomości z działań na wielomianach, a konkretnie dzielenie. Nie będę tutaj opisywał, co i jak, bo możesz to znaleźć w pierwszej lepszej książce o algebrze lub podręczniku do liceum w dziale poświęconym wielomianom. W zadaniu numer 1 musisz wykonać dzielenie. Nic trudnego.
Co do drugiego. Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tej samej zmiennej, tego samego stopnia oraz mają identyczne współczynniki przy odpowiednich potęgach. W zadaniu numer 2 zwykłu układ równań. a-1=2 i b-2=7. W 3 nie wiem czego nie rozumiecz. Zauważ, że jeżeli, którykolwiek z nawiasów się zeruje to cały wielomian jest równy zero. Podstawisz np. 2 to W(2)=0.
Musisz zwyczajnie z tego wzoru wypisać pierwiastki, ale tylko wymiernę, a jakie to są liczby myślę, że wiesz. Co do zadania 4 no to zwykłe dzielenie, lub Schemat Hornera. Obie te metody musisz powtórzyć. W piatym wyciagnij \(\displaystyle{ x^{2}}\) przed nawias. W nawiasie zostanie trójmian kwadratowy. Potem już prosto - delta i rozwiązujesz równanie kwadratowe. Pamiętaj, że 0 też jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Co do 6 to jest ono najtrudniejsze z tych wszystkich. Ale nie taki diabeł straszny.

\(\displaystyle{ x^4-6x^3+11x^2-6x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^3-6x^2+11x-6)=0}\)

Jeżeli znamy jeden pierwiastek to możemy podzielić wielomian przez dwumian x-c, gdzie c jest pierwiastkiem. Zostanie nam:

\(\displaystyle{ x^3-6x^2+11x-6=0}\)

Mamy równanie 3 stopnia. Aby je rozwiązać musimy, albo zastosować wzory Cardano, w tym przypadku zbędne. Posłużymy się twierdzeniem o pierwiastakach całkowitych wielomianu.
Chodzi tutaj o coś takiego: "Jeżeli wielomian W(x) ma pierwiastek całkowity to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego". W naszym wypadku wyraz wolny to -6. Mamy więc dzielniki: 1, (-1), 2, (-2), 3, (-3), 6, (-6). Teraz podstawiamy kolejno wartości. Szybko się zorientujemy, że jednyka jest pierwiastkiem.

\(\displaystyle{ W(1)=1-6+11-6=0}\)

A więc dzielimy teraz przez x-c. c w tym wypadku to 1. Albo pisemnie, albo schemat Hornera. Który dla ciebie wygodniejszy. Po wykonaniu dzielenia otrzymamy równanie drugiego stopnia:

\(\displaystyle{ x^2-5x+6=0}\)

To już istny elementarz. Liczymy deltę i pierwiastki. Wyjdzie 2 i 3. Teraz zapisujemy zbiór rozwiązań.
W naszym wypadku mamy takie wartości:
\(\displaystyle{ x_1=0
x_2=1
x_3=2
x_4=3}\)


Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ