Hej:)
Miałam do zrobienia kilka zadań, z większością jakoś sobie poradziłam, ale co do reszty mam wątpliwości... Jeżeli mógłby mi ktoś wytłumaczyc to byłabym wdzięczna:)
1. Czy wielomiany \(\displaystyle{ W(x)= (x+m)^3}\) i \(\displaystyle{ V(x)= x^3 +6x^2 +12x +8}\) są równe tylko dla jednej wartości parametru m?
Tu obliczłam tylko, że m=2...niebardzo wiem, jak sprawdzic czy istnieją jeszcze inne parametry dla których te wielomiany są równe...
2.Czy wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^3 -7x^2 =3x +21}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste?
Czy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^6-9x^3+8}\) ma tylko dwa pierwistki rzeczywiste?
Na to nie mam sposobu, bo bez sensu jest wypisywanie wszystkich liczb rzeczywistych i sprawdzanie każdej, nie?xD
3.Czy równania \(\displaystyle{ x^3 -x^2 +9x -9 =0}\) i \(\displaystyle{ (1- x^3) (x^2 +x +5)=0}\) są sobie równoważne?
Równoważne to znaczy takie same...?
4.Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez x-1 otrzymujemy resztę 3, a przy dzieleniu go przez x-2 otrzymujemy resztę 4. Zatem reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez \(\displaystyle{ x^2-3x+2}\) wynosi:
a)2
b)x+2
c)x+1?
Tu wiem tylko, że jeśli pomnoży się dzielnik razy wynik i doda reszte to wyjdzie wzur wielomianu, tylko nie wiem, jak to tu użyc...?
5.Czy liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym równania \(\displaystyle{ x^4-4x^3+4x^2=0}\)?
Tu poradziłabym sobie Hornernm, nie wiem tylko, co zrobic ze współczynnikami potęg, których nie ma...tzn wielomian kończy się na drugiej potędze, co więc z pierwszą i zarową? Wpisac za to zero czy ominąc...?
Wielomiany ogólnie
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 30 sty 2009, o 10:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 17 razy
Wielomiany ogólnie
Zadanie 1
Nie ma innego parametru oprócz \(\displaystyle{ m=2}\). Można rozwinąć ze wzroru skróconego mnożenia wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +3 x^{2}m+3x m^{2} + m^{3}}\) i porównać współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x^{3}, x^{2}, x}\) i wyraz wolny i np. wyraz wolny wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wynosi \(\displaystyle{ m ^{3}}\), a wyraz wolny wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\) jest równy 8. A zatem \(\displaystyle{ m^{3} = 8}\) czyli \(\displaystyle{ m=2}\) - nie ma innego rozwiązania.
Ostatecznie istnieje tylko jeden parametr \(\displaystyle{ m=2}\)
Nie ma innego parametru oprócz \(\displaystyle{ m=2}\). Można rozwinąć ze wzroru skróconego mnożenia wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +3 x^{2}m+3x m^{2} + m^{3}}\) i porównać współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x^{3}, x^{2}, x}\) i wyraz wolny i np. wyraz wolny wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) wynosi \(\displaystyle{ m ^{3}}\), a wyraz wolny wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\) jest równy 8. A zatem \(\displaystyle{ m^{3} = 8}\) czyli \(\displaystyle{ m=2}\) - nie ma innego rozwiązania.
Ostatecznie istnieje tylko jeden parametr \(\displaystyle{ m=2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kruszyny
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 21 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 30 sty 2009, o 10:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 17 razy
Wielomiany ogólnie
Zadanie 2
Ja bym znalazła pierwiastki obu wielomianów. Pierwszy rozłożyć metodą grupowania(tu pewnie pomyliłaś znaki) i wyjdzie
\(\displaystyle{ W(x)= x^{2} (x-7)-3(x-7)=(x-7)( x^{2}-3)=(x-2)(x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3} )}\)
czyli szukane pierwiastki to \(\displaystyle{ - \sqrt{3}, \sqrt{3},2}\).
Odp. Wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste (jeden wymierny, dwa niewymierne)
Drugi można przedstawic:
\(\displaystyle{ W(x)= (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8}\) robimy podstawienie \(\displaystyle{ x^{3}=t}\) i otrzymujemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ W(t)= (t)^{2}-9(t)+8}\)
obliczamy deltę, pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\) wracamy do postawienia obliczając niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) czyli nasze pierwiastki wielomianu.
-- 11 lut 2009, o 09:41 --
Zadanie 5
Inny sposób prostszy. Nie trzeba nic dzielić wystarczy poprzekształcać, wyciągnąć przed nawias \(\displaystyle{ x^{2}}\) i otrzymujemy :
\(\displaystyle{ x^{2} ( x^{2}-4x+4)=0}\), a w nawiasie widać że jest wzór skróconego możenia
a zatem otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ x^{2} (x-2) ^{2} =0}\),
czyli liczba 2 jest pierwiastkiem podwójnym danego wielomianu.-- 11 lut 2009, o 10:02 --Zadanie 4
Wymaga trochę opisów ale najpierw należy zauważyć że:
\(\displaystyle{ W(1)=3}\) - wynika to z faktu że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) równa jest \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ W(2)=4}\) uzasadnienie jak wyżej.
Szukając reszty \(\displaystyle{ R(x)}\)z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-3x+2}\) - które da się rozbić na postać iloczynową - możemy przedstawić szukany wielomian jako:
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x^{2}-3x+2) + R(x)= P(x)(x-1)(x-2) +R(x)}\)
Postawiemy \(\displaystyle{ 1}\)i \(\displaystyle{ 2}\)do równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ W(1)= R(1)}\) i \(\displaystyle{ W(2) = R(2)}\), a założeń wiemy że \(\displaystyle{ W(1)=3}\)i \(\displaystyle{ W(2)=4}\),
czyli \(\displaystyle{ R(1)= 3 i R(2)= 4}\)
Następna rzecz stopien reszty jest \(\displaystyle{ \le 1}\) (bo jak dzielimy przez wielomnian stopnia 2 to reszta zawsze musi być stopnia mniejszego).
A zatem istnieją talkie lilczyby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ R(x)= ax+b}\)
tworzymy układ równań wynikający z poprzednich wniosków:\(\displaystyle{ R(1)= 3}\)i \(\displaystyle{ R(2)= 4}\) czyli mamy
\(\displaystyle{ a1+b=3}\)
\(\displaystyle{ a2+b=4}\)
Znajdujemy \(\displaystyle{ a,b}\) wstawiamy do \(\displaystyle{ R(x)}\) i..............
KONIEC ZADANIA
Mam nadzeje, że w miarę czytelnie to wyjaśniłam. To nie jest najłatwiejsze zadanie
Ja bym znalazła pierwiastki obu wielomianów. Pierwszy rozłożyć metodą grupowania(tu pewnie pomyliłaś znaki) i wyjdzie
\(\displaystyle{ W(x)= x^{2} (x-7)-3(x-7)=(x-7)( x^{2}-3)=(x-2)(x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3} )}\)
czyli szukane pierwiastki to \(\displaystyle{ - \sqrt{3}, \sqrt{3},2}\).
Odp. Wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste (jeden wymierny, dwa niewymierne)
Drugi można przedstawic:
\(\displaystyle{ W(x)= (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8}\) robimy podstawienie \(\displaystyle{ x^{3}=t}\) i otrzymujemy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ W(t)= (t)^{2}-9(t)+8}\)
obliczamy deltę, pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1}, t_{2}}\) wracamy do postawienia obliczając niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) czyli nasze pierwiastki wielomianu.
-- 11 lut 2009, o 09:41 --
Zadanie 5
Inny sposób prostszy. Nie trzeba nic dzielić wystarczy poprzekształcać, wyciągnąć przed nawias \(\displaystyle{ x^{2}}\) i otrzymujemy :
\(\displaystyle{ x^{2} ( x^{2}-4x+4)=0}\), a w nawiasie widać że jest wzór skróconego możenia
a zatem otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ x^{2} (x-2) ^{2} =0}\),
czyli liczba 2 jest pierwiastkiem podwójnym danego wielomianu.-- 11 lut 2009, o 10:02 --Zadanie 4
Wymaga trochę opisów ale najpierw należy zauważyć że:
\(\displaystyle{ W(1)=3}\) - wynika to z faktu że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) równa jest \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ W(2)=4}\) uzasadnienie jak wyżej.
Szukając reszty \(\displaystyle{ R(x)}\)z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x^{2}-3x+2}\) - które da się rozbić na postać iloczynową - możemy przedstawić szukany wielomian jako:
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x^{2}-3x+2) + R(x)= P(x)(x-1)(x-2) +R(x)}\)
Postawiemy \(\displaystyle{ 1}\)i \(\displaystyle{ 2}\)do równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ W(1)= R(1)}\) i \(\displaystyle{ W(2) = R(2)}\), a założeń wiemy że \(\displaystyle{ W(1)=3}\)i \(\displaystyle{ W(2)=4}\),
czyli \(\displaystyle{ R(1)= 3 i R(2)= 4}\)
Następna rzecz stopien reszty jest \(\displaystyle{ \le 1}\) (bo jak dzielimy przez wielomnian stopnia 2 to reszta zawsze musi być stopnia mniejszego).
A zatem istnieją talkie lilczyby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ R(x)= ax+b}\)
tworzymy układ równań wynikający z poprzednich wniosków:\(\displaystyle{ R(1)= 3}\)i \(\displaystyle{ R(2)= 4}\) czyli mamy
\(\displaystyle{ a1+b=3}\)
\(\displaystyle{ a2+b=4}\)
Znajdujemy \(\displaystyle{ a,b}\) wstawiamy do \(\displaystyle{ R(x)}\) i..............
KONIEC ZADANIA
Mam nadzeje, że w miarę czytelnie to wyjaśniłam. To nie jest najłatwiejsze zadanie