Równanie wielomianowe z paramterem

[Agniecha1818]

Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x ^{4}+(1-2m)x ^{2}+2m ^{2}+ \frac{1}{4}=0}\) nie ma rozwiązań?

[Wicio]

Brak rozwiązań gdy brak pierwiastków. Brak pierwiastków gdy delta mniejsza od zera:
\(\displaystyle{ x ^{4}+(1-2m)x ^{2}+2m ^{2}+ \frac{1}{4}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2}+(1-2m)t+2m ^{2}+ \frac{1}{4}=0}\)


\(\displaystyle{ \Delta=(1-2m)^{2}-4(2m^{2}+ \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ (1-2m)^{2}-4(2m^{2}+ \frac{1}{4}<0}\)

[Rogal]

Jak to mawiają - pół prawdy to całe kłamstwo ;p.
Pierwiastki równania po podstawieniu mogą być, ale ujemny i wtedy też wyjściowe równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc polecam ten przypadek również dołączyć i rozważyć.

[sea_of_tears]

Brak rozwiązań gdy brak pierwiastków. Brak pierwiastków gdy delta mniejsza od zera:
\(\displaystyle{ x ^{4}+(1-2m)x ^{2}+2m ^{2}+ \frac{1}{4}=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2}+(1-2m)t+2m ^{2}+ \frac{1}{4}=0}\)


\(\displaystyle{ \Delta=(1-2m)^{2}-4(2m^{2}+ \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ (1-2m)^{2}-4(2m^{2}+ \frac{1}{4}<0}\)

jeśli chodzi o brak rozwiazań nie jest to jedyny przypadek, drugi to taki gdy istnieją rozwiazania t ale wszystkie są ujemne czyli :
\(\displaystyle{ t_1<0 \wedge t_2<0
\newline
\newline
\begin{cases}
\Delta \ge 0\\
t_1+t_2<0\\
t_1\cdot t_2>0
\end{cases}}\)
oczywiście w dwóch ostatnich trzeba skorzystać ze wzorów Viete'a