Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę

[moroboro]

Witam na początku, to mój pierwszy post

Muszę zrobić zadanie ale nijak mi nie wychodzi :/ i proszę Was o pomoc, o link do jakieś stronki/tematu opisującego podobne zadanie, albo o jego rozwiązanie.

Nie wykonując dzielenia, znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ u}\).

a) \(\displaystyle{ w(x) = x ^{5} - x ^{3} + x ^{2} - 1}\), \(\displaystyle{ u(x) = (x-1)(x+1)(x+2)}\)
b) \(\displaystyle{ w(x) = x ^{7} - 33x + 11}\), \(\displaystyle{ u(x) = (x+1)(x-2)}\)
c) \(\displaystyle{ w(x) = x ^{99} - 1}\), \(\displaystyle{ u(x) = x ^{2} - 1}\)

[Viathor]

Pamiętaj że zawsze stopień reszty jest co najmniej o 1 niższy niż stopień wielomianu przez który dzielimy.

Tak więc w a) będzie to:

\(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\)

Wstawiamy kolejne wartości zerujące u(x) do w(x)
\(\displaystyle{ R(1)=0\\
a+b+c=0\\
R(-1)=-2\\
a-b+c=-2\\
R(-2)=-21\\
4a-2b+c=-21\\}\)

Więc mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ a-b+c=-2 \\ 4a-2b+c=-21 \end{cases}}\)

Z czego wynika, że :
\(\displaystyle{ R(x)=-6x^2+x+5}\)

b)
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b
R(-1)=43\\
-a+b=43\\
R(2)=73\\
2a+b=73\\}\)

\(\displaystyle{ R(x)=10x+53}\)
c)
\(\displaystyle{ x^2-1=(x-1)(x+1)\\
R(x)=ax+b\\
a+b=0\\
a-b=-2\\
R(x)=-x+1}\)

[moroboro]

Dziękuję, już kapuje jak to się robi tylko jeszcze w jednym miejscu nie wiem skąd się coś bierze.
Chodzi mi o to np z a) \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) (skąd to \(\displaystyle{ a+b+c}\)). I analogicznie \(\displaystyle{ a-b+c}\) i \(\displaystyle{ 4a-2b+c}\), itd?

A i małe błędy się pojawiły bo w a) ma wyjść \(\displaystyle{ -7x ^{2} + 7}\), b) jest ok, a w c) ma być \(\displaystyle{ x + 1}\) ale to dobra, jak mi ktoś wytłumaczy skąd się bierze to co napisałem wyżej to już sam sobie to oblicze

[Viathor]

Bierze się to z :

\(\displaystyle{ w(x)=z(x)*u(x)+R(x)\\}\)

gdzie z(x) jest dowolnym wielomianem który powstaje z dzielenia \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ u(x)}\). Teraz wiemy w jakich miejscach zeruje się u(x), zatem zerując go zerujemy także z(x) i przyrównujemy wartość z w(x) do naszego R(x), który jest w postaci z parametrami, czyli \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\)

a,b,c w odpowiedniej kombinacji to współczynniki z R(x) przy podstawieniu odpowiednich wartości za x

Sory za błędy.

Pozdrawiam

[moroboro]

Viathor jesteś wielki ;] Udało mi się i mam dobre wyniki