Wielomiany - wzory Viete'a

[mbanan17]

1.
a)Znajdź rozwiązania równania \(\displaystyle{ x ^{3}-6x ^{2}+bx+c=0}\) wiedząc że \(\displaystyle{ x _{1}:x _{2}:x _{3}=1:2:3}\)?

b) Dla jakich a,b wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3}+ax+b}\) ma trzy pierwiastki takie ze \(\displaystyle{ x _{1}=x _{2}=x _{3} -3}\)?

[Rogal]

Jak piszesz w TeXu, to pisz całe wyrażenia, a nie takie potworki zostawiaj.
Znasz wzory Viete'a ?

[Szemek]

Wzory Viete'a dla wielomianu stopnia trzeciego:
Jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} \\ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} \end{cases}}\)

[mbanan17]

\(\displaystyle{ \frac{ x_{1} }{x _{2} }= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x _{1} }{x _{3} }= \frac{1}{3}}\)

czyli

\(\displaystyle{ x _{2}= 2x _{1}}\) a \(\displaystyle{ x _{3}=3x _{1}}\)

a wiec

\(\displaystyle{ x _{1}+ 2x _{1} +3x _{1}=-b}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{-b}{6}}\)

i nie bardzowiem co dalej....

moze \(\displaystyle{ \frac{-b}{6}x _{2} + x _{2} \cdot x _{3} + \frac{-b}{6}x _{3}}\)?

[Rogal]

Ale przyjrzyj się, co to u Ciebie jest b, a co we wzorach podanych przez Szemka.
Suma pierwiastków tego wielomianu to nie jest "Twoje b", tylko należy to czytać jako "minus drugi współczynnik podzielony przez pierwszy", a to w Twoim wielomianie jest równe sześć.
A jak już znajdziesz te pierwiastki, to nie musisz (choć wcale Ci to nie zaszkodzi ; )) brnąć dalej we wzory Viete'a, tylko skorzystać z tw. Bezouta.

[marcinn12]

Witam, gdzie mogę znaleźć wyprowadzenie tych wzorow vieta dla wielomianu stopnia 3 jak i wyższych?

[Rogal]

Osobiście polecam zrobić to samodzielnie. Zasada jest prosta. Jeżeli założysz, że dany wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastków, to masz taką równość:
\(\displaystyle{ a_{n} x^{n} + ... + a_{1}x + a_{0} = a_{n}(x-x_{1})...(x-x_{n})}\)
Pozostaje Ci wymnożyć prawą stronę i przyrównać do prawej. Stąd biorą się dzieci... znaczy, wzory Viete'a : )