Wyznaczenie wielomianów

[Rothman]

Mam problem z dwoma zadaniami:
1) Wyznaczyć wszystkie wielomiany, takie że:
Dla każdego \(\displaystyle{ x R: (x-1) W(x+1)-(x+3) W(x-1)=0}\).

2) Dla jakiego \(\displaystyle{ n N}\):
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4n}+x^{4(n-1)}+...+x^8+x+4+1}\)
Dzieli się przez:
\(\displaystyle{ P(x)=x^{2n}+x^{2(n-1)}+...+x^4+x^2+1}\)

Mam nadzieje, że mimo absencji od szkoły ktoś będzie potrafił i chciał mi pomóc

[Tristan]

1) Podstawiając w podanej równości kolejno x=1 i x=-3 stwierdzamy, że wielomian W(x) ma pierwiastki 0 i -2. Wobec tego dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2+2x}\). Jest więc postaci \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+2x) Q(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest pewnym wielomianem.
Ale
\(\displaystyle{ (x-1) W(x+1)=(x+3) W(x-1)}\), więc \(\displaystyle{ Q(x)=Q(x-1)}\).
Stąd otrzymujemy
\(\displaystyle{ Q(0)=Q(-1)=Q(-2)=...=Q(-n)}\)
Wobec tego \(\displaystyle{ Q(x)=a}\) i \(\displaystyle{ W(x)=a(x^2+2x)}\)

2) Czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ x^4}\) zamiast \(\displaystyle{ x+4}\)?

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ \large W(x)=1+x^4+\ldots +x^{4n}=\frac{x^{4(n+1)}-1}{x^4-1}=\frac{x^{4(n+1)}-1}{(x^2+1)(x^2-1)}}\),

\(\displaystyle{ \large P(x)=1+x^2+\ldots x^{2n}=\frac{x^{2(n+1)}-1}{x^2-1}}\).

Więc \(\displaystyle{ \large W(x)/P(x)=\frac{x^{4(n+1)}-1}{(x^2+1)(x^2-1)}\cdot \frac{x^2-1}{x^{2(n+1)}-1}=\frac{x^{2(n+1)}+1}{x^2+1}}\).

\(\displaystyle{ W(x)}\) jest więc podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ x^{2(n+1)}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+1}\).

\(\displaystyle{ x^2+1=(x+i)(x-i)}\).

\(\displaystyle{ i^{2(n+1)}+1=(-1)^{n+1}+1=0}\), więc \(\displaystyle{ n+1}\) musi być nieparzyste, czyli \(\displaystyle{ n}\) musi być parzyste.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki