wartości parametrów a, b

[ania555]

Proszę o rozwiązanie tych przykładów, ponieważ, nie mogę sobie z nimi poradzić.

1) Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeśli:
a)\(\displaystyle{ W(x)= x^{4} -3 x^{3} + 3 x^{2} -ax +2}\), \(\displaystyle{ P(x) = x^{2} -3x +b}\)
b) \(\displaystyle{ W(x)=x^{4} - x^{3} -9 x^{2} +ax+2}\), \(\displaystyle{ P(x) = x^{2}+2x+b}\)
c) \(\displaystyle{ W(x)=x^{4} +a x^{3} +b x^{2} +3x-9}\), \(\displaystyle{ P(x) =(x+3)^{2}}\)
d) \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}-2 x^{3} +a x^{2} -3x +b}\), \(\displaystyle{ P(x) =x^{2}-3x+3}\)
Bardzo proszę o rozwiązanie szczególnie podpunktu a i b, a w c i d, to jakby ktoś mógł P(x) rozłożyć na czynniki. Bardzo dziękuuję.

Stosuj klamry TeX-u w całym zapisie,a nie tylko cząstkowo!
RyHoO16-- 5 lut 2009, o 18:08 --Potrafi ktoś to zrobić?

[Morgus]

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)}\)
\(\displaystyle{ x^{4} -3 x^{3} + 3 x^{2} -ax +2=(x^{2} -3x +b)(x^{2}+cx+d)}\)
\(\displaystyle{ x^{4} -3 x^{3} + 3 x^{2} -ax +2=x^{4}+cx^{3}+dx^{2}-3x^{3}-3cx^{2}-3dx+bx^{2}+bcx+bd}\)
\(\displaystyle{ x^{4} -3 x^{3} + 3 x^{2} -ax +2=x^{4}+(c-3)x^{3}+(d-3c+b)x^{2}+(-3d+bc)x+bd}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} c-3=-3 \rightarrow c=0\\d-3c+b=3\\-3d+bc=-a\\bd=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c=0\\d+b=3 \rightarrow d=3-b\\-3d=-a\\bd=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b(3-b)=2}\)
\(\displaystyle{ -b^{2}+3b-2=0}\)
\(\displaystyle{ b^{2}-3b+2=0}\)
\(\displaystyle{ b^{2}-b-2b+2=0}\)
\(\displaystyle{ b(b-1)-2(b-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (b-1)(b-2)=0}\)
\(\displaystyle{ b=1 \vee b=2}\)

gdy \(\displaystyle{ b=1}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=0\\d+1=3 \\-3d=-a\\b=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=0\\d=2 \\ a=6\\b=1 \end{cases}}\)

gdy \(\displaystyle{ b=2}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=0\\d+2=3 \\-3d=-a\\b=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=0\\d=1 \\a=3\\b=2 \end{cases}}\)

Podsumowując:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=6\\b=1 \end{cases} \vee \begin{cases} a=3\\b=2 \end{cases}}\)

Reszta analogicznie.

P.S. W podpunkcie c, \(\displaystyle{ P(x)}\) już jest rozłożone na czynniki, ale żeby rozwiązać to zadanie nie trzeba rozkładać \(\displaystyle{ P(x)}\) na czynniki.

[ania555]

Dzięki za rozwiązanie, a co trzeba zrobić w tym c??-- 5 lut 2009, o 19:49 --A w tym zadaniu, skąd tam na początku się wzięło cx +d??