Wykaz, ze wielomian ma trzy rozne pierwiastki
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 3 sty 2008, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Niewiem Sam
- Podziękował: 27 razy
Wykaz, ze wielomian ma trzy rozne pierwiastki
Wykaz, ze jesli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x ^{3}+ax ^{2} +bx+c}\) ma trzy rozne pierwiastki rzeczywiste, z ktorych jeden jest srednia arytmetyczna pozostalych to \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a ^{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Wykaz, ze wielomian ma trzy rozne pierwiastki
Niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) będą pierwiastkami wielomianu i niech \(\displaystyle{ x_{3}}\) będzie tym pierwiastkiem, dla którego zachodzi \(\displaystyle{ 2x_{3}=x_{1}+x_{2}}\).
Na mocy wzorów Viete'a zachodzi \(\displaystyle{ -a=x_{1}+x_{2}+x_{3}}\), czyli \(\displaystyle{ -a=3x_{3}}\),
\(\displaystyle{ x_{3}=-\frac{1}{3}a}\).
Ponadto:
\(\displaystyle{ W(x_{3})=0}\)
\(\displaystyle{ W(-\frac{1}{3}a)=0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{27}a^{3}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{ab}{3}+c=0}\)
Przekształcając ostatnią równość, otrzymasz \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a^{3}}\).
Na mocy wzorów Viete'a zachodzi \(\displaystyle{ -a=x_{1}+x_{2}+x_{3}}\), czyli \(\displaystyle{ -a=3x_{3}}\),
\(\displaystyle{ x_{3}=-\frac{1}{3}a}\).
Ponadto:
\(\displaystyle{ W(x_{3})=0}\)
\(\displaystyle{ W(-\frac{1}{3}a)=0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{27}a^{3}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{ab}{3}+c=0}\)
Przekształcając ostatnią równość, otrzymasz \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a^{3}}\).