Wykaz, ze wielomian ma trzy rozne pierwiastki

[Adamusos]

Wykaz, ze jesli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x ^{3}+ax ^{2} +bx+c}\) ma trzy rozne pierwiastki rzeczywiste, z ktorych jeden jest srednia arytmetyczna pozostalych to \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a ^{3}}\)

[Crizz]

Niech \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) będą pierwiastkami wielomianu i niech \(\displaystyle{ x_{3}}\) będzie tym pierwiastkiem, dla którego zachodzi \(\displaystyle{ 2x_{3}=x_{1}+x_{2}}\).

Na mocy wzorów Viete'a zachodzi \(\displaystyle{ -a=x_{1}+x_{2}+x_{3}}\), czyli \(\displaystyle{ -a=3x_{3}}\),
\(\displaystyle{ x_{3}=-\frac{1}{3}a}\).

Ponadto:
\(\displaystyle{ W(x_{3})=0}\)
\(\displaystyle{ W(-\frac{1}{3}a)=0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{27}a^{3}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{ab}{3}+c=0}\)

Przekształcając ostatnią równość, otrzymasz \(\displaystyle{ 27c=9ab-2a^{3}}\).