znaleź wielomian-liczby zespolone

[Atraktor]

Znaleźć niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych, możliwie najniższego stopnia, którego pierwiastkami są liczby:

\(\displaystyle{ e^{\frac{4k \Pi}{101}i}, \ gdzie \ k=1,2,3,...,50}\)

i teraz tak się zastanawiam jak może wyjść wynik z e skoro to ma by,c wielomian i do tego mają być współczynniki całkowite?

[xiikzodz]

Wielomian, ktorego pierwiastkiem jest ta liczba to na przyklad:

\(\displaystyle{ x^{101}-1}\)

Nie jest to wielomian minimalnego stopnia, bo mamy:

\(\displaystyle{ x^{101}-1=(x^{100}+x^{99}+\ldots+x+1)(x-1)}\)

Wielomian

\(\displaystyle{ f(x)=x^{100}+x^{99}+\ldots+x+1}\)

jest nieredukowalny (znaczy sie nie jest iloczynem wielomianow o wspolczynnikach calkowitych, a nawet wymiernych), wiec to jest wlasnie szukany wielomian. Jego nieredukowalnosc wynika np. z kryterium Eisensteina zastosowanego do wielomianu \(\displaystyle{ f(x+1)}\). Oczywiscie przy stosowaniu kryterium istotne bedzie, ze \(\displaystyle{ 101}\) jest liczba pierwsza.

[Atraktor]

jeszcze mam takie pytanie czy wzór Moivre'a jest spełniony do każdej potęgi? tzn czy jest też spełniony dla np. n= 1/101?

[xiikzodz]

Sprawdzmy:

Niech \(\displaystyle{ z=a+bi\in\mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ (\cos\phi+i\sin\phi)^z=\left(e^{i\phi}\right)^z=e^{iz\phi}=e^{(ai-b)\phi}=e^{-b}e^{ai\phi}=e^{-b}(\cos a\phi+i\sin a\phi)}\)

Zatem w szczegolnosci dla kazdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ r}\) mamy:

\(\displaystyle{ (\cos\phi+i\sin\phi)^r=(\cos r\phi+i\sin r\phi)}\).

W tym dla \(\displaystyle{ r=\frac 1n}\).