Zadanie z parametrem

szpieg · Post autor: **szpieg** » 21 gru 2005, o 19:17

Wyznaczyc takie wartości a, dla których równanie \(\displaystyle{ x^{3}-ax+2a-8=0}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

ymar · Post autor: **ymar** » 21 gru 2005, o 19:40

https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=9145

Tristan · Post autor: **Tristan** » 21 gru 2005, o 19:54

Ja podam taki prosty, zwyczajny sposób:) :
Najpierw przekształcamy lewą strone równania do postaci iloczynowej poprzez grupowanie wyrazów i wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:
\(\displaystyle{ (x^3-8)-(ax-2a)=0 \\ (x-2)(x^2+2x+4)-a(x-2)=0 \\ (x-2)(x^2+2x+4-a)=0}\)

Równanie to jest równoważne alternatywie równań:
\(\displaystyle{ x-2=0 x^2+2x+4-a=0}\)
Z równania liniowego mamy jedno rozwiązanie x=2, zatem równanie kwadratowe musi spełniać warunek, że delta jest większa lub równa zeru, czyli:
\(\displaystyle{ \Delta q0 \\ 4-4(4-a)\geq0 \\ 1-4+a\geq0 \\a\geq3}\)
Odpowiedzieć więc brzmi, że dla \(\displaystyle{ a q 3}\) dane równanie ma trzy( niekoniecznie różne) pierwiastki rzeczywiste.

szpieg · Post autor: **szpieg** » 21 gru 2005, o 20:46

dzieki, rzeczywiscie prosto i elegancko

Anatol · Post autor: **Anatol** » 21 gru 2005, o 21:24

Tristan pisze: Odpowiedzieć więc brzmi, że dla a>1 dane równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

Prawie dobrze. a=10 nie jest dobre.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 21 gru 2005, o 22:05

Nie sprawdzałem rozwiązania Tristana, lecz wielomian \(\displaystyle{ x^3-10x+12=q(x)}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, Anatolu.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

Anatol · Post autor: **Anatol** » 21 gru 2005, o 22:19

Przyznam Ci się Tomaszu, że również nie sprawdzałem rozwiązania Tristana (sprawdziłem je dopiero teraz), a pisząc że a=10 nie spełnia warunków zadania, opierałem się na rozkładzie wielomianu, którego dokonał.

Powinno być \(\displaystyle{ (x-2)(x^2 +2x+4-a)}\).
Zatem \(\displaystyle{ a}\). nie może być równe 12.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 21 gru 2005, o 22:22

O czym Ty mówisz? Czy w treści zadania jest wspomniane cokolwiek nt. krotności pierwiastka? Nie. Nie muszą być one różne.

Poza tym, fakt, w tamtym rozkładzie był błąd, też to teraz przeliczyłem:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Anatol · Post autor: **Anatol** » 21 gru 2005, o 22:49

Tomasz Rużycki pisze:O czym Ty mówisz? Czy w treści zadania jest wspomniane cokolwiek nt. krotności pierwiastka? Nie. Nie muszą być one różne.

Dla Ciebie nie muszą, dla mnie muszą. Jeśli wielomian ma dwa pierwiastki, to ma dwa, a nie trzy, a to że jeden z nich jest dwukrotny, to jego prawo.

P>S. Tristan również uznał, że muszą.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 21 gru 2005, o 23:06

Tak... pamięć jest zawodna, więc kopnąłem się przy wzorku:]. Posta już poprawiłem:)

ymar · Post autor: **ymar** » 22 gru 2005, o 00:21

Anatol pisze:Dla Ciebie nie muszą, dla mnie muszą. Jeśli wielomian ma dwa pierwiastki, to ma dwa, a nie trzy, a to że jeden z nich jest dwukrotny, to jego prawo.

no nie wiem... mnie tam pani w szkole wyraźnie rozróżniła pierwiastek od rozwiązania...

Anatol · Post autor: **Anatol** » 22 gru 2005, o 02:12

no nie wiem... może Ciebie tam pani w szkole wyraźnie rozróżniła.

ap · Post autor: ap » 22 gru 2005, o 07:52

Anatol pisze:Dla Ciebie nie muszą, dla mnie muszą.

Zasadnicze twierdzenie algebry jest precyzyjne i nie pozostawia miejsca na widzimisię. Pierwiastki \(\displaystyle{ k}\)-krotne traktuje się jak \(\displaystyle{ k}\) pierwiastków. Zadanie również nie wymaga, żeby były różne, a tylko, żeby były rzeczywiste. Odpowiedź z trzeciego posta jest poprawna.

ymar · Post autor: **ymar** » 22 gru 2005, o 13:45

Anatol pisze:no nie wiem... może Ciebie tam pani w szkole wyraźnie rozróżniła.

bez komentarza...