Dzielenie wielomianu

Mala Mi · Post autor: **Mala Mi** » 18 gru 2005, o 11:41

oblicz resztę:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{100} - 2x ^{99} + 2x^{50} - 1}\) przez \(\displaystyle{ G(x)= x^3-x}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 18 gru 2005, o 12:31

Wielomian G(x)=x(x-1)(x+1). Widzimy, że jedynie 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Weźmy sobie inny wielomian, który również miałby taki pierwiastek, a zarazem jego pierwiastkami nie byłoby ani 0 ani -1. Np. taki wielomian to \(\displaystyle{ x^4-2x^3+2x^2-1}\). Już pisemne jego podzielenie nie sprawia wielu kłopotów i dochodzimy do reszty równej \(\displaystyle{ 3x^2-2x-1}\). Weźmy inny wielomian np. \(\displaystyle{ x^{10}-2x^9+2x^6-1}\). Przy pisemnym dzieleniu, choć już troszkę dłuższym, również resztą jest\(\displaystyle{ 3x^2-2x-1}\). Teraz zastananów się nad tym oraz nad odpowiedzą na swoje pytanie:)

Przy fali protestów:P piszę rozwiązanie: Ponieważ wielomian G(x)=x(x-1)(x+1), więc podkładamy wartości pierwiastków pod W(x) i otrzymujemy układ równań W(1)=0, W(-1)=4 oraz W(0)=-1. Więc \(\displaystyle{ W(x)= q(x)(x^3-x)+ax^2+bx+c}\) dlatego, aby wyznaczyć a,b,c rozwiązujemy układ równań: a+b+c=0 i a-b+c=4 i c=-1. Teraz już chyba wszystko jest jaśniutkie jak słoneczko:)

Thorn123 · Post autor: **Thorn123** » 19 gru 2005, o 20:42

a ja mam pytanie mogl by mi ktos wyjasnic (i rospisac) jak sie dzieli w takim przypadku ?
\(\displaystyle{ P(x)=x^3-21x+20}\) wiem ze trzeba podzielic go przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) ale nie zbyt mi wychodzi:(

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 19 gru 2005, o 20:58

polecam lekture o schemacie hornera....
... omiany.htm

[url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Schemat_Hornera]Schemat Hornera[/url]

Mala Mi · Post autor: **Mala Mi** » 20 gru 2005, o 17:07

jest jedno ale.... pomerdaly Ci sie pierwiastki, bo pierwiastkiem tego wielomianu jest -1! a nie 1:)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 20 gru 2005, o 17:12

Nie wiem ile wynosi silnia z -1:P, ale na pewno pierwiastkiem wielomianu P(x) jest 1:)

Mala Mi · Post autor: **Mala Mi** » 20 gru 2005, o 17:53

mi wyszlo , że reszta jest x � - x a Tobie?:)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 20 gru 2005, o 18:06

Niestety, źle podzieliłaś, ponieważ dzieląc wielomian \(\displaystyle{ x^3-21x+20}\) przez dwumian (x-1), to reszta wyniesie 0. A tak pozatym, to jest łatwiejszy sposób, na sprawdzanie, czy jakaś liczba jest pierwiastkiem danego wielomianu. Jeśli P(x)=0, to x jest pierwiastkiem danego wielomianu P(x). A zauważ, że jeśli za x podstawimy 0, to otrzymamy \(\displaystyle{ P(1)= 1^3-21 1 +20=0}\) czyli 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Mala Mi · Post autor: **Mala Mi** » 20 gru 2005, o 18:13

ale mnie nie interesuja inne wielomiany bo to jest logiczne ze moga?! wyjsc inne reszty, prawda ? Bezwzgledu na to czy maja te same pierwiastki czy nie. To raz a dwa, lizylam to teraz recznie ten ogromniasty wielomian i sa zaleznosci!I dzieki temu wyszła reszta x � -x a co do pierwiastków to fakt koplam sie i jedynka jest tym powalonym pierwiastkiem jednak dalej twierdze ze reszta do tego KoNkretnego przykladu wynosi tyle co wyzej nastukałam !:d Papulki ( ten wywód to nie jest taka metafora )

Tristan · Post autor: **Tristan** » 20 gru 2005, o 18:18

Hmm... chyba całkiem się nie zrozumieliśmy:):) Ja cały czas mówię o wielomianie P(x) a Ty chyba o tym swoim, W(x):)

Mala Mi · Post autor: **Mala Mi** » 20 gru 2005, o 18:25

aaa! Qumam nie zauważyłam, że ktos dorzucil inny przykład Sory, ale juz mam dosyc tych wielomianow..ten wykladnik 100,99i 50 to był ZA DUŻY