Cztery niewymierne pierwiastki
-
rubik1990
- Użytkownik
- Posty: 520
- Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 86 razy
Cztery niewymierne pierwiastki
Mam znaleźć rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^{4}}\)\(\displaystyle{ +3x^{3}}\)\(\displaystyle{ -6x^{2}}\)\(\displaystyle{ -11x}\)\(\displaystyle{ +15}\)\(\displaystyle{ =0}\). Próbowałem to grupować na różne sposoby, ale żadna metoda nic nie dawała. Musze mieć dokładne wyniki, nie przybliżone. Chętnie się dowiem jaką metodą można to zrobić.
-
rubik1990
- Użytkownik
- Posty: 520
- Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 86 razy
Cztery niewymierne pierwiastki
No nie wiem. Wydaje mi się, że powinno dać się to zrobić prościej, jakimiś bardziej elementarnymi metodami. To jest zadanie z liceum więc wątpię by wymagało takich metod. Może ktoś ma jakiś inny pomysł?-- 31 sty 2009, o 15:35 --Udało mis się zrobić to zadanie. Wielkie dzięki , ale nie było to łatwe
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Cztery niewymierne pierwiastki
Sprowadzam lewą stronę równania do postaci kwadratu zupełnego
zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
\(\displaystyle{ x^4+3x^3-6x^2-11x+15=0\\
x^4+3x^3=6x^2+11x-15\\
x^4+3x^3+ \frac{9}{4}x^2 = \frac{33}{4} x^2+11x-15\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x \right)^2= \frac{33}{4} x^2+11x-15\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x + \frac{y}{2} \right)^2=\left( y+ \frac{33}{4} \right)x^2+\left( \frac{3}{2}y+11 \right)x+ \frac{y^2}{4}-15}\)
Sprowadzam prawą stronę równania do postaci kwadratu zupełnego
W tym celu wprowadzam nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem zupełnym
Obliczam wyróżnik prawej strony równania i przyrównuję go do zera ponieważ prawa strona
ma także być kwadratem zupełnym
Otrzymuję równanie trzeciego stopnia które w ogólnym przypadku da się sprowadzić do równania kwadratowego podstawieniem \(\displaystyle{ x=u+v- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2}y+11 \right)^2=\left( y^2-60\right)\left( y+ \frac{33}{4} \right)\\
\frac{9}{4}y^2+33y+121=y^3+ \frac{33}{4}y^2-60y-495\\
y^3+6y^2-93y-616=0\\
y_{1}=-8}\)
Tutaj akurat pierwiastek możesz znaleźć wśród dzielników wyrazu wolnego
Gdybyś musiał użyć wyżej wymienionego podstawienia oraz rozwiązać równanie kwadratowe
w celu znalezienia pierwiastka równania trzeciego stopnia obliczenia by się skomplikowały
\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{3}{2}x-4 \right)^2=\left( \frac{1}{4}x^2-x+1 \right) \\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x-4 \right)^2=\left( \frac{1}{2}x-1 \right)^2\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x-4 \right)^2-\left( \frac{1}{2}x-1 \right)^2=0}\)
Teraz wystarczy tylko skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
aby otrzymać iloczyn dwóch trójmianów
\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{3}{2}x-4-\frac{1}{2}x+1\right)\left(x^2+ \frac{3}{2}x-4+ \frac{1}{2}x-1 \right) =0\\
\left( x^2+x-3\right)\left( x^2+2x-5\right)=0}\)
To już iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych które rozkładasz w analogiczny sposób
lub z użyciem wyróżnika tak jak w szkole liczą
zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy
\(\displaystyle{ x^4+3x^3-6x^2-11x+15=0\\
x^4+3x^3=6x^2+11x-15\\
x^4+3x^3+ \frac{9}{4}x^2 = \frac{33}{4} x^2+11x-15\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x \right)^2= \frac{33}{4} x^2+11x-15\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x + \frac{y}{2} \right)^2=\left( y+ \frac{33}{4} \right)x^2+\left( \frac{3}{2}y+11 \right)x+ \frac{y^2}{4}-15}\)
Sprowadzam prawą stronę równania do postaci kwadratu zupełnego
W tym celu wprowadzam nową niewiadomą tak aby lewa strona nadal była kwadratem zupełnym
Obliczam wyróżnik prawej strony równania i przyrównuję go do zera ponieważ prawa strona
ma także być kwadratem zupełnym
Otrzymuję równanie trzeciego stopnia które w ogólnym przypadku da się sprowadzić do równania kwadratowego podstawieniem \(\displaystyle{ x=u+v- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{3}{2}y+11 \right)^2=\left( y^2-60\right)\left( y+ \frac{33}{4} \right)\\
\frac{9}{4}y^2+33y+121=y^3+ \frac{33}{4}y^2-60y-495\\
y^3+6y^2-93y-616=0\\
y_{1}=-8}\)
Tutaj akurat pierwiastek możesz znaleźć wśród dzielników wyrazu wolnego
Gdybyś musiał użyć wyżej wymienionego podstawienia oraz rozwiązać równanie kwadratowe
w celu znalezienia pierwiastka równania trzeciego stopnia obliczenia by się skomplikowały
\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{3}{2}x-4 \right)^2=\left( \frac{1}{4}x^2-x+1 \right) \\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x-4 \right)^2=\left( \frac{1}{2}x-1 \right)^2\\
\left( x^2+ \frac{3}{2}x-4 \right)^2-\left( \frac{1}{2}x-1 \right)^2=0}\)
Teraz wystarczy tylko skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
aby otrzymać iloczyn dwóch trójmianów
\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{3}{2}x-4-\frac{1}{2}x+1\right)\left(x^2+ \frac{3}{2}x-4+ \frac{1}{2}x-1 \right) =0\\
\left( x^2+x-3\right)\left( x^2+2x-5\right)=0}\)
To już iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych które rozkładasz w analogiczny sposób
lub z użyciem wyróżnika tak jak w szkole liczą