Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4}+(m-3) x^{2}+m^{2}=0}\) ma cztery różne, a dla jakich dwa różne rozwiąznia?
Pomocy.
Zadanie z parametrem
-
Poodzian
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 11 paź 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 62 razy
Zadanie z parametrem
Zacznijmy od \(\displaystyle{ x^2=t}\) z założeniem, że \(\displaystyle{ t>0}\)
Wówczas: \(\displaystyle{ t^2+(m-3)t+m^2=0}\)
Należy zauważyć, że \(\displaystyle{ x^2=t}\) ma zawsze dwa rozwiązania (\(\displaystyle{ \sqrt{t}}\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{t}}\)) - wobec tego dane w zadaniu wyjściowe równanie będzie miało dwa różne rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ t^2+(m-3)t+m^2=0}\) będzie miało jedno rozwiązanie (\(\displaystyle{ \Delta=0}\)), zaś cztery, gdy dwa (\(\displaystyle{ \Delta>0}\))
Powstają równanie dla pierwszego postulatu i nierówność dla drugiego:
\(\displaystyle{ (m-3)^2-4m^2=0}\)
\(\displaystyle{ (m-3)^2-4m^2>0}\)
Wówczas: \(\displaystyle{ t^2+(m-3)t+m^2=0}\)
Należy zauważyć, że \(\displaystyle{ x^2=t}\) ma zawsze dwa rozwiązania (\(\displaystyle{ \sqrt{t}}\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{t}}\)) - wobec tego dane w zadaniu wyjściowe równanie będzie miało dwa różne rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ t^2+(m-3)t+m^2=0}\) będzie miało jedno rozwiązanie (\(\displaystyle{ \Delta=0}\)), zaś cztery, gdy dwa (\(\displaystyle{ \Delta>0}\))
Powstają równanie dla pierwszego postulatu i nierówność dla drugiego:
\(\displaystyle{ (m-3)^2-4m^2=0}\)
\(\displaystyle{ (m-3)^2-4m^2>0}\)