Równanie wielomianowe

[mathematix]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{5}-8 x^{3}+16x=0}\)

[sea_of_tears]

\(\displaystyle{ x^5-8x^3+16x=0\newline
x(x^4-8x^2+16)=0\newline
x=0 \vee x^4-8x^2+16=0\newline
x^4-8x^2+16=0\newline
x^2=t, t \ge 0\newline
t^2-8t+16=0\newline
(t-4)^2=0\newline
t=4\newline
x^2=4\newline
x=2\vee x=-2}\)

[Tomek_Z]

Wyłączając x przed nawias:

\(\displaystyle{ x(x^4-8x^2+16) = 0}\)

Rozkładam człon w nawiasie na czynniki liniowe, niech \(\displaystyle{ t = x^2}\):

\(\displaystyle{ t^2 - 8t + 16 = (t-4)^2 = (x^2-4)^2 = (x-2)^2(x+2)^2}\), zatem:

\(\displaystyle{ x (x-2)^2(x+2)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2 \vee x = -2}\)

[ppolciaa17]

\(\displaystyle{ x^{5}-8x^{3}+16x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{4}-8x^{2}+16=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{2}-4)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x(x-2)^{2} \cdot (x-2)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x-2 \vee x=-2}\)