Witam, po krótce. Mam pewien problem z zadaniami z wielomianów. Jeżeli ktoś mógł by objaśnić jak powinno się do tego podejśc i rozwiązać byłbym wdzięczny. Nie będę wrzucał wszystkich, dam tylko po jednym przykładzie z zadania które stanowi dla mnie problem.
Zadanie 1
Sprawdź, czy liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Jeśli tak, określ krotność tego pierwiastka:
a) \(\displaystyle{ W(x)=6x^{3}+3x^{2}+10x+5, r= -\frac{1}{2}}\)
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametrów a,b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli:
a) \(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-2x^{3}+ 6x^{2}+ax+b, r=1}\)
Zadanie 3
Dla jakich wartości parametrów a, b liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli:
\(\displaystyle{ W(x)= x^{5}-3x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx-1, r=1}\)
Zadanie 4
Dla jakich wartości parametru a wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12+a}\) jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego ?
Za wszelką pomoc z góry dziekuję !
Wielomiany z paramtrem
-
arrgghh
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysoka /k. Łańcuta
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 10 razy
Wielomiany z paramtrem
zadanie 1
Jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to musi zachodzić W(r)=0.
Żeby sprawdzić krotność tego pierwiastka - trzeba rozłożyć wielomian na czynniki (przynajmniej nic innego mi nie przychodzi do głowy):
\(\displaystyle{ 6x^{3}+3x^{2}+10x+5=0 \\
3x^{2}(2x+1)+5(2x+1)=0 \\
(2x+1)(3x^2+5)=0}\)
Jak widać, r jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) (i swoją drogą jedynym pierwiastkiem, bo \(\displaystyle{ 3x^2+5}\) zawsze będzie dodatnie).
Jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to musi zachodzić W(r)=0.
Żeby sprawdzić krotność tego pierwiastka - trzeba rozłożyć wielomian na czynniki (przynajmniej nic innego mi nie przychodzi do głowy):
\(\displaystyle{ 6x^{3}+3x^{2}+10x+5=0 \\
3x^{2}(2x+1)+5(2x+1)=0 \\
(2x+1)(3x^2+5)=0}\)
Jak widać, r jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) (i swoją drogą jedynym pierwiastkiem, bo \(\displaystyle{ 3x^2+5}\) zawsze będzie dodatnie).
-
arrgghh
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 9 maja 2008, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysoka /k. Łańcuta
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 10 razy
Wielomiany z paramtrem
Próbowałem zrobić to 4 zadanie i jestem praktycznie pewny że źle go przepisałeś, a dokładniej w wielomianie W(x) przy 12 powinien stać jeszcze x. Sprawdź czy na pewno dobrze przepisałeś.
Podaję rozwiązanie dla \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\):
Skoro wielomian W(x) ma być kwadratem wielomianu drugiego stopnia, to musi mieć postać
\(\displaystyle{ S(x)=(x^2+bx+c)^{2}}\) (współczynnik w nawiasie przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest równy 1, żeby móc otrzymać \(\displaystyle{ x^{4}}\)).
Po przekształceniu tego wyrażenia wystarczy porównać współczynniki tego wielomianu do współczynników wielomianu W(x):
\(\displaystyle{ S(x)=((x^{2}+bx)+c)^{2}=\\
(x^{2}+bx)^{2}+2(x^{2}+bx)c+c^{2}=\\
x^{4}+2bx^{3}+b^{2}x^{2}+2cx^{2}+2bcx+c^{2}=\\
x^{4}+2bx^{3}+(b^{2}+2c)x^{2}+2bcx+c^{2}\\
\\
W(x)=S(x) \Leftrightarrow \begin{cases}2b=4\\b^{2}+2c=10\\2bc=12\\c^{2}=a\end{cases} \ \Leftrightarrow \begin{cases}b=2\\c=3\\a=9\end{cases}}\)
Odpowiedź: a=9
Możemy łatwo sprawdzić czy rozwiązanie jest poprawne, podstawiając w wielomianie S(x) obliczone odpowiednie współczynniki:
\(\displaystyle{ S(x)=x^{4}+2*2x^{3}+(2^{2}+2*3)x^{2}+2*2*3x+3^{2}=
x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+9}\)
Widzimy że S(x)=W(x) dla obliczonego przez nas \(\displaystyle{ a}\).
Podaję rozwiązanie dla \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+a}\):
Skoro wielomian W(x) ma być kwadratem wielomianu drugiego stopnia, to musi mieć postać
\(\displaystyle{ S(x)=(x^2+bx+c)^{2}}\) (współczynnik w nawiasie przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest równy 1, żeby móc otrzymać \(\displaystyle{ x^{4}}\)).
Po przekształceniu tego wyrażenia wystarczy porównać współczynniki tego wielomianu do współczynników wielomianu W(x):
\(\displaystyle{ S(x)=((x^{2}+bx)+c)^{2}=\\
(x^{2}+bx)^{2}+2(x^{2}+bx)c+c^{2}=\\
x^{4}+2bx^{3}+b^{2}x^{2}+2cx^{2}+2bcx+c^{2}=\\
x^{4}+2bx^{3}+(b^{2}+2c)x^{2}+2bcx+c^{2}\\
\\
W(x)=S(x) \Leftrightarrow \begin{cases}2b=4\\b^{2}+2c=10\\2bc=12\\c^{2}=a\end{cases} \ \Leftrightarrow \begin{cases}b=2\\c=3\\a=9\end{cases}}\)
Odpowiedź: a=9
Możemy łatwo sprawdzić czy rozwiązanie jest poprawne, podstawiając w wielomianie S(x) obliczone odpowiednie współczynniki:
\(\displaystyle{ S(x)=x^{4}+2*2x^{3}+(2^{2}+2*3)x^{2}+2*2*3x+3^{2}=
x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+9}\)
Widzimy że S(x)=W(x) dla obliczonego przez nas \(\displaystyle{ a}\).
-
Duczy
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 30 gru 2008, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
- Podziękował: 2 razy
Wielomiany z paramtrem
Nie będę zakładał nowego tematu bo mój problem jest podobny. Mam problem z zadaniem (pewnie dla większości z was śmiesznym.
Dana jest funkcja o wzorze f(x)=(m2-9m+20)x-5
Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których funkcja f jest malejąca!
Bardzo będę wdzięczny za wyjaśnienie tego zadania.
Pozdrawiam
Dana jest funkcja o wzorze f(x)=(m2-9m+20)x-5
Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których funkcja f jest malejąca!
Bardzo będę wdzięczny za wyjaśnienie tego zadania.
Pozdrawiam
-
sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy
Wielomiany z paramtrem
f(x) jest fukcją liniową
funkcja liniowa jest malejąca gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny
\(\displaystyle{ f(x)=(m^2-9m+20)x-5 \newline
\newline
m^2-9m+20<0\newline
\Delta=(-9)^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1\newline
\sqrt{\Delta}=1\newline
m_1=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4\newline
m_2=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5\newline
m \in (4,5)}\)
funkcja liniowa jest malejąca gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny
\(\displaystyle{ f(x)=(m^2-9m+20)x-5 \newline
\newline
m^2-9m+20<0\newline
\Delta=(-9)^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1\newline
\sqrt{\Delta}=1\newline
m_1=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4\newline
m_2=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5\newline
m \in (4,5)}\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2009, o 12:19 przez sea_of_tears, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Duczy
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 30 gru 2008, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
- Podziękował: 2 razy
Wielomiany z paramtrem
ehh głupi błąd rachunkowy i już nie umiałem zrobić zadania;)
Wielkie dzięki a pomoc:)
Pozdrawiam
Wielkie dzięki a pomoc:)
Pozdrawiam