pierwiastki równania/ pochodna
pierwiastki równania/ pochodna
Jak znaleźć liczbę pierwiastków równania: \(\displaystyle{ x^{11} - 11x + 1 = 0}\)? Z góry dziękuje za pomoc.
- Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
pierwiastki równania/ pochodna
... czywistych
Spróbuj może to jakoś z tym artykułem utożsamić. W sumie nie wiem, czy da się udowodnić, że wzór na wyróżnik działa bez względu na stopień pierwszej potęgi, ale może akurat
Inną metodą może być obliczenie pochodnej i badanie znaku funkcji w danym przedziale (np. dla f(-2)<0, ale f(-1)>0 - wniosek: skoro funkcja w przedziale tym jest cały czas rosnąca, to znajduje się tam dokładnie jedno miejsce zerowe).
Spróbuj może to jakoś z tym artykułem utożsamić. W sumie nie wiem, czy da się udowodnić, że wzór na wyróżnik działa bez względu na stopień pierwszej potęgi, ale może akurat
Inną metodą może być obliczenie pochodnej i badanie znaku funkcji w danym przedziale (np. dla f(-2)<0, ale f(-1)>0 - wniosek: skoro funkcja w przedziale tym jest cały czas rosnąca, to znajduje się tam dokładnie jedno miejsce zerowe).
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
pierwiastki równania/ pochodna
\(\displaystyle{ (x ^{11}-11x+1)'=11x ^{10}-11x=11(x ^{10}-1)=11(x^5+1)(x^5-1)=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,1\}.}\)Anna M pisze:Jak znaleźć liczbę pierwiastków równania: \(\displaystyle{ x^{11} - 11x + 1 = 0}\)? Z góry dziękuje za pomoc.
\(\displaystyle{ (*) \ f _{max} f(-1)=11>0, \ f _{min} =f(1)=-9<0.}\)
Z ostatniego, z ciągłości funkcji oraz własności Darboux ma ona pierwiastek w przedziale (-1, 1).
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty }=- \infty .}\) Stąd i z (*) funkcja ma pierwiastek mniejszy od -1. Analogicznie istnieje pierwiastek większy od 1.