pierwiastki równania/ pochodna

[Anna M]

Jak znaleźć liczbę pierwiastków równania: \(\displaystyle{ x^{11} - 11x + 1 = 0}\)? Z góry dziękuje za pomoc.

[Ptaq666]

... czywistych

Spróbuj może to jakoś z tym artykułem utożsamić. W sumie nie wiem, czy da się udowodnić, że wzór na wyróżnik działa bez względu na stopień pierwszej potęgi, ale może akurat

Inną metodą może być obliczenie pochodnej i badanie znaku funkcji w danym przedziale (np. dla f(-2)<0, ale f(-1)>0 - wniosek: skoro funkcja w przedziale tym jest cały czas rosnąca, to znajduje się tam dokładnie jedno miejsce zerowe).

[JankoS]

Jak znaleźć liczbę pierwiastków równania: \(\displaystyle{ x^{11} - 11x + 1 = 0}\)? Z góry dziękuje za pomoc.

\(\displaystyle{ (x ^{11}-11x+1)'=11x ^{10}-11x=11(x ^{10}-1)=11(x^5+1)(x^5-1)=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,1\}.}\)
\(\displaystyle{ (*) \ f _{max} f(-1)=11>0, \ f _{min} =f(1)=-9<0.}\)
Z ostatniego, z ciągłości funkcji oraz własności Darboux ma ona pierwiastek w przedziale (-1, 1).
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty }=- \infty .}\) Stąd i z (*) funkcja ma pierwiastek mniejszy od -1. Analogicznie istnieje pierwiastek większy od 1.