Równania wielomianowe - 3 równania

[krzysiek17]

Witam. Prosiłbym o rozwiązanie:

1) \(\displaystyle{ 2x^{3} +7x^{2}+7x+2=0}\)

2) \(\displaystyle{ 3x^{3} -7x^{2}-7x+3=0}\)

3 \(\displaystyle{ 2x^{4} -13x^{2}+6=0}\)

[florek177]

1. \(\displaystyle{ -2, -1, - \frac{1}{2}}\);

2. \(\displaystyle{ -1, \frac{1}{3}, 3}\);

\(\displaystyle{ \mp \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{6}}\);

[Poodzian]

Ad 1, Ad 2,
Należy skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu, co postaram się wyjaśnić na podstawie pierwszego przykładu
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego \(\displaystyle{ a_0=2}\) - są nimi \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\) - sprawdzamy, które z nich zerują wyrażenie

\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+7x^2+7x+2}\), a po podstawieniu widzimy, że \(\displaystyle{ W(-1)=0}\), zatem \(\displaystyle{ x=-1}\) jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Zgodnie z twierdzeniem Bézout, jest on podzielny przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x+1}=2x^2+5x+2}\), zatem:
\(\displaystyle{ W(x)=(2x^2+5x+2)(x+1)}\)
Najprościej rozpić teraz pierwszy z nawiasów - \(\displaystyle{ 2x^2+5x+2}\)
\(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ \Delta=25-16=9}\), zaś pierwiastki: \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=-2}\)

\(\displaystyle{ W(x)=2(x+2)(x+\frac{1}{2})(x+1)}\)

Ad 3,
Wprowadź zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2}\) (gdzie \(\displaystyle{ t\ge 0}\))
\(\displaystyle{ 2t^2-13t+6=0}\)

[krzysiek17]

Dzięki wielkie za pomoc.