równanie wielomianowe, 4 rozwiązania

[pelcus1]

Dla jakich a równanie x4+(1-2a)x2+a2-1=0 ma dokładnie 4 rozwiązania?

[Ksl]

\(\displaystyle{ x ^{2} =t}\)

\(\displaystyle{ t ^{2}+(1-2a)t+a ^{2} -1=0}\)
Żeby były 2 rozwiązania \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
Nie wiem tylko czy chodzi o 4 różne rozwiązania czy mogą być takie same. Jeżeli rózne to \(\displaystyle{ \Delta>0}\)

Wyliczamy deltę wychodzi.
\(\displaystyle{ 5-4a \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \le \frac{5}{4}}\)

Jeżeli chcemy żeby były 4 rozwiązania to\(\displaystyle{ t_{1}, t_{2} \ge 0}\)
Korzystamy ze wzorów Vieta.

\(\displaystyle{ \frac{-b}{a} \ge 0 \wedge \frac{c}{a} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ 2a-1 \ge 0 \wedge a ^{2}-1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \ge \frac{1}{2} \wedge a \in (- \infty ;-1> \bigcup )}\)

Bierzemy część wspólną 3 rozwiązań.

\(\displaystyle{ a }\)


chyba jest dobrze

[bedbet]

Ksl zauważ, że funkcja dwukwadratowa będąca lewą częścią podanego równania jest parzysta, więc jeżeli istnieją cztery, bądź chociażby dwa pierwiastki podanego równania, to są one sprzężone, czyli różne od siebie, ale co do modułu równe.

P.S. Zamiast "igcup" wystarczy "cup"

[pelcus1]

tzn. że co, zadanie jest dobrze czy źle?

[bedbet]

\(\displaystyle{ \Delta> 0}\) tak powinno być