równanie wielomianowe, dwukrotny pierwiastek

[pelcus1]

Wykaż, ze jeżeli równanie x3+ax+b=0 ma rozwiązanie dwukrotne, to 4a3+27b2=0

prosiłbym o rozwiązanie "krok po kroku" bo kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać

[bedbet]

Zgodnie z treścią zadania dane równanie możemy przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ (x-p)^2(x-q)=0}\)

Przyrównując oba wielomiany otrzymamy:

\(\displaystyle{ (x-p)^2(x-q)=x^3+ax+b\\
\\
(x^2-2px+p^2)(x-q)=x^3+ax+b\\
\\
x^3+(-2p-q)x^2+(p^2+2pq)x-p^2q=x^3+ax+b}\)

Stąd otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}-2p-q=0 \\ p^2+2pq=a \\ -p^2q=b\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} p=-\frac{q}{2}\\ \frac{q^2}{4}+2\left(-\frac{q}{2}q\right)=a \\ -\frac{q^2}{4}q=b\end{cases}}\)

Dalej trzeba wyrugować parametr \(\displaystyle{ q}\) i otrzymasz tezę.

[wb]

\(\displaystyle{ x^3+ax+b=(x-p)^2(x-q) \\ x^3+ax+b=x^3+(-q-2p)x^2+(2pq+p^2)x-p^2q \begin{cases} -q-2p=0 \\ 2pq+p^2=a \\ -p^2q=b \end{cases} \\ \begin{cases} q=-2p \\ a=2pq+p^2 \\ b=-p^2q \end{cases} a=-3p^2 \ , \ \ b=2p^3 \\ \\ \\ 4a^3+27b^2=4(-3p^2)^3+27(2p^3)^2= -108p^6+108p^6=0}\)