współczynniki to kolejne liczby naturalne. udowodnij

[silvaran]

Wykaż, że jeżeli współczynniki a, b, c, d wielomianu W(x) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to wielomian ma trzy pierwiastki.
\(\displaystyle{ W(x) = ax ^{3} - bx^{2} - cx + d}\)

mój pomysł na to zadanie był taki, żeby porównać ten wielomian do postaci iloczynowej wielomianu stopnia 3, jednak zaczeły mi wychodzic cuda wianki i strasznie dużo mnozenia i liczenia a to zadanie tylko za 5pkt maturalnych

[Tomek_Z]

Zastanawiam się czy to zadanie mozna tak rozwiązać:

a, b, c, d wielomianu W(x) są kolejnymi liczbami naturalnymi

zatem:
\(\displaystyle{ a=1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 4}\)
czyli:
\(\displaystyle{ W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x +4}\)
No i teraz wystarczy tylko znaleźć te pierwiastki.

[silvaran]

no tak, ale tym sposobem sprawdzasz tylko jeden przypadek
nie ma dokladnie określonych liczb, wiemy tylko że są one kolejnymi naturalnymi. Powinno być raczej tak:
\(\displaystyle{ a=a}\)
\(\displaystyle{ b=a+1}\)
\(\displaystyle{ c=a+2}\)
\(\displaystyle{ d=a+3}\)

no ale mówie, że mój sposób jest bardzo czasochłonny

[GenericNickname]

Podstawienie dobre - potem wystarczy tylko coś zauważyć... Oblicz \(\displaystyle{ W(1)}\)

[silvaran]

W(1) to suma współczynników min.
wychodzi 0. czyli 1 jest pierwiastkiem, tyle mi wyszło po wymnażaniu i grupowaniu i wyciąganiu. dokładniej:
\(\displaystyle{ (x-1)(ax^{2} -x-a-3)=0}\)
tylko później wychodzi delta dziwna i warunek, ze a musi być w konkretnym przedziale, czyli źle

[GenericNickname]

\(\displaystyle{ \Delta=1-4*a*(-a-3)=1+4a(a+3)>0}\)
Wielomian ma 3 pierwiastki co było do udowodnienia.

[silvaran]

i licząc deltę z delty ;P wychodzi, że
\(\displaystyle{ a \in (- \infty , - \frac{3}{2} - \sqrt{2} ) \cup (- \frac{3}{2} , + \infty )}\)
wiemy z treści zadania, że \(\displaystyle{ a \in N}\) czyli wszystko się zgadza, faktycznie

[GenericNickname]

Nie musisz liczyć delty z delty. Jeśli współczynniki są naturalne to \(\displaystyle{ a \geq 1}\)