1) Znajdź pierwiastki wielomianu i ustal ich krotność.
\(\displaystyle{ a) x ^{5}(x-3)(x+11) ^{2}(2x+4) ^{5}
b) (x ^{2}-3x+2)(-2x ^{2}+3x+2)(-2x ^{2}+x+1)
c) (x ^{5}-4x ^{3}+8x ^{2}-32)(x ^{3}-2x ^{2})}\)
2) Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ a) (2x ^{2}-x)(2x ^{2}+11x-6) \le 0
b) 4x ^{3}+3x ^{2}-8x-6 >0
c) -3x ^{4}+10x ^{3}+25x ^{2} }\)
Pierwiastki i ich krotności, nierówności
-
marcinn12
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 193 razy
Pierwiastki i ich krotności, nierówności
Zadanie 1
a)
Hmm masz to w postaci iloczynowej wiec bardzo łatwo to zrobić.
\(\displaystyle{ x ^{5}(x-3)(x+11) ^{2}(2x+4) ^{5}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =0}\) pierw. 5 krotny
\(\displaystyle{ x _{2} =3}\) pier. 1-krotny
\(\displaystyle{ x _{3} =-11}\) pierw. 2 krotny
\(\displaystyle{ x _{4} =-2}\) pierw. 5 krotny
b) \(\displaystyle{ (x ^{2}-3x+2)(-2x ^{2}+3x+2)(-2x ^{2}+x+1)}\)
Tutaj zabawe w liczenie już... delta i te sprawy
\(\displaystyle{ 4(x-1)(x-2)(x-2)(x+ \frac{1}{2})(x-1)(x+ \frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ 4(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x+ \frac{1}{2}) ^{2}}\)
I analogicznie jak wyżej.
\(\displaystyle{ x _{1} =1}\) pierw. 2-krotny
\(\displaystyle{ x _{2} =2}\) pierw. 2krotny
\(\displaystyle{ x _{3} =- \frac{1}{2}}\) pierw. 2-krotny
c)\(\displaystyle{ (x ^{5}-4x ^{3}+8x ^{2}-32)(x ^{3}-2x ^{2})}\)
Mamy wielomian w pierwszym nawiasie.
\(\displaystyle{ W(2) =32-32+32-32=0}\)
Teraz dzielenie schematem Hornera i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2)(x ^{4} +2x ^{3} +8x+16)(x-2)}\)
I znów mamy wielomian 4 stopnia, łatwo zauwazyć, że jednym z pierwiastków jest liczba -2.
\(\displaystyle{ W(-2)=16-16-16+16=0}\)
Dzielenie Hornerem...
\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2) ^{2} (x ^{3} +8)}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =0}\) pierw. 2-krotny
\(\displaystyle{ x _{2}=2}\) pierw. 2-krotny
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R} x ^{3}+8 }>0}\) czyli nie ma miesc zerowych.
Zadanie 2
a)
\(\displaystyle{ 2x(x- \frac{1}{2} ) ^{2} (x+6) 0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =0}\) p.1-krotny
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{1}{2}}\) p.2-krotny
\(\displaystyle{ x _{3} =-6}\) p.1-krotny
\(\displaystyle{ x }\) U{\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)}
no i więcej mi się nie chce
a)
Hmm masz to w postaci iloczynowej wiec bardzo łatwo to zrobić.
\(\displaystyle{ x ^{5}(x-3)(x+11) ^{2}(2x+4) ^{5}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =0}\) pierw. 5 krotny
\(\displaystyle{ x _{2} =3}\) pier. 1-krotny
\(\displaystyle{ x _{3} =-11}\) pierw. 2 krotny
\(\displaystyle{ x _{4} =-2}\) pierw. 5 krotny
b) \(\displaystyle{ (x ^{2}-3x+2)(-2x ^{2}+3x+2)(-2x ^{2}+x+1)}\)
Tutaj zabawe w liczenie już... delta i te sprawy
\(\displaystyle{ 4(x-1)(x-2)(x-2)(x+ \frac{1}{2})(x-1)(x+ \frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ 4(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x+ \frac{1}{2}) ^{2}}\)
I analogicznie jak wyżej.
\(\displaystyle{ x _{1} =1}\) pierw. 2-krotny
\(\displaystyle{ x _{2} =2}\) pierw. 2krotny
\(\displaystyle{ x _{3} =- \frac{1}{2}}\) pierw. 2-krotny
c)\(\displaystyle{ (x ^{5}-4x ^{3}+8x ^{2}-32)(x ^{3}-2x ^{2})}\)
Mamy wielomian w pierwszym nawiasie.
\(\displaystyle{ W(2) =32-32+32-32=0}\)
Teraz dzielenie schematem Hornera i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2)(x ^{4} +2x ^{3} +8x+16)(x-2)}\)
I znów mamy wielomian 4 stopnia, łatwo zauwazyć, że jednym z pierwiastków jest liczba -2.
\(\displaystyle{ W(-2)=16-16-16+16=0}\)
Dzielenie Hornerem...
\(\displaystyle{ x ^{2} (x-2) ^{2} (x ^{3} +8)}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =0}\) pierw. 2-krotny
\(\displaystyle{ x _{2}=2}\) pierw. 2-krotny
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in R} x ^{3}+8 }>0}\) czyli nie ma miesc zerowych.
Zadanie 2
a)
\(\displaystyle{ 2x(x- \frac{1}{2} ) ^{2} (x+6) 0}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =0}\) p.1-krotny
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{1}{2}}\) p.2-krotny
\(\displaystyle{ x _{3} =-6}\) p.1-krotny
\(\displaystyle{ x }\) U{\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)}
no i więcej mi się nie chce