równanie 3 stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
sierpinskiwaclaw70
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 22 paź 2020, o 22:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 8 razy

równanie 3 stopnia

Post autor: sierpinskiwaclaw70 » 29 mar 2022, o 15:10

Kiedy wielomian ma 3 pierwiastki? Da się to jakoś pokazać nie licząc wyróżnika?
Pytam bo mam taki wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3}+(k-2) x^{2}+(3-2k)x+6 }\)
i pytanie:
Dla jakiej jednej tylko liczby całkowitej k wielomian ma trzy pierwiastki, których kwadrat sumy jest mniejszy od 9.
Ze wzorów Viete'a dostałem taką nierówność:
\(\displaystyle{ (2-k) ^{2}<9 }\), stąd \(\displaystyle{ k \in \left\{ 0,1,2,3,4\right\} }\)
Jak odrzucić inne tak bym wybrał jedna?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23380
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3229 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: piasek101 » 29 mar 2022, o 21:46

Może (bo wtedy nie ma kłopotu) wyraz wolny był z minusem.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20339
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 3449 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: a4karo » 29 mar 2022, o 23:21

Jeżeli sa trzy pierwiastki rzeczywiste, to `(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=x_1^2+x_2^2+x_3^3>0`, co eliminuje przypadki `k=2,3,4`.

W pozostałych przypadkach policz pochodną i zobacz, że funkcja jest stale rosnąca, zatem trzech pierwiastków mieć nie może.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2646
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 368 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: Dilectus » 31 mar 2022, o 09:51

Jeśli wielomian 3. stopnia ma trzy pierwiastki, to musi mieć dwa ekstrema. Spróbuj wykorzystać to spostrzeżenie. :)

Awatar użytkownika
sierpinskiwaclaw70
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 22 paź 2020, o 22:30
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 8 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: sierpinskiwaclaw70 » 3 kwie 2022, o 10:21

piasek101 pisze:
29 mar 2022, o 21:46
Może (bo wtedy nie ma kłopotu) wyraz wolny był z minusem.
Ale wyraz wolny to +6, więc jest zawsze dodatni. A jeśli byłby z minusem, to co by to nam dało?

Dodano po 2 minutach 14 sekundach:
Odnośnie innych porad, spróbuje i o efektach dam znać.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23380
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3229 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: piasek101 » 3 kwie 2022, o 20:39

Wtedy jednym z pierwiastków byłoby dwa.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6807
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1232 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: mariuszm » 21 cze 2022, o 06:49

a4karo pisze:
29 mar 2022, o 23:21
Jeżeli sa trzy pierwiastki rzeczywiste, to `(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=x_1^2+x_2^2+x_3^3>0`, co eliminuje przypadki `k=2,3,4`.

W pozostałych przypadkach policz pochodną i zobacz, że funkcja jest stale rosnąca, zatem trzech pierwiastków mieć nie może.
A czy to nie jest odwrotnie tzn nierówność \(\displaystyle{ (x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=x_1^2+x_2^2+x_3^3>0}\)
nie eliminuje czasem przypadków \(\displaystyle{ k=0,1}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8198
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 273 razy
Pomógł: 3202 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: kerajs » 21 cze 2022, o 07:37

A mnie ciekawi, czy gdyby istniało \(\displaystyle{ k}\) dla którego wielomian miałby postać \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^2(x+6)}\) to spełniałoby warunki zadania?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20339
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 3449 razy

Re: równanie 3 stopnia

Post autor: a4karo » 21 cze 2022, o 09:21

kerajs pisze:
21 cze 2022, o 07:37
A mnie ciekawi, czy gdyby istniało \(\displaystyle{ k}\) dla którego wielomian miałby postać \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^2(x+6)}\) to spełniałoby warunki zadania?
Dla dowolnego `k` jest \(\displaystyle{ W'(1)=2,}\) a ponadto kwadrat sumy pierwiastków tego wielomianu wynosi `16`.

Dodano po 1 godzinie 1 minucie 43 sekundach:
mariuszm pisze:
21 cze 2022, o 06:49
a4karo pisze:
29 mar 2022, o 23:21
Jeżeli sa trzy pierwiastki rzeczywiste, to `(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=x_1^2+x_2^2+x_3^3>0`, co eliminuje przypadki `k=2,3,4`.

W pozostałych przypadkach policz pochodną i zobacz, że funkcja jest stale rosnąca, zatem trzech pierwiastków mieć nie może.
A czy to nie jest odwrotnie tzn nierówność \(\displaystyle{ (x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=x_1^2+x_2^2+x_3^3>0}\)
nie eliminuje czasem przypadków \(\displaystyle{ k=0,1}\)
Masz absolutną rację. A skoro tak dałem ciała, to spieszę poprawnym rozwiązaniem:

\(\displaystyle{ W(x)= x^{3}+(k-2) x^{2}+(3-2k)x+6=x^3-2x^2+3x+6+k(x^2-2x)=P(x)+k(x^2-2x)}\)
Wielomian `P` jest funkcja ściśle rosnącą (bo `P'(x)=3x^2-4x+3=x^2+1+2(x-1)^2>0`) oraz `P(-1)=0`. Dla `k=0,1,...,4` wielomian jest ujemny jedynie dla `x\in(0,2)` i osiąga najmniejszą wartość `-k` w punkcie `x=1`, więc `W(x)>0` dla `x\in(-1,0]\cup[2,\infty)`, a dla `x\in(0,2)` zachodzi `W(x)>P(0)-k\ge 2`.

Stąd wniosek, że wielomian `W` nie ma pierwiastków większych niż `-1`. Jeżeli zatem ma trzy pierwiastki, to są one mniejsze niż `-1` a ich suma jest mniejsza niż `-3`, zatem kwadrat sumy pierwiastków jest większy niż `9`
Ostatnio zmieniony 21 cze 2022, o 09:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ