Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Warden23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 21 lip 2021, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23

Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Post autor: Warden23 »

Witam,

Ostatnio zauważyłem pewną zależność przy obliczaniu pierwiastków wielomianu, ale nie wiem czy to prawda. Mianowicie, jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) taki, że współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od \(\displaystyle{ 1}\), to wielomian ten będzie posiadał przynajmniej jeden pierwiastek niecałkowity. Pomijam tu wielokrotności wielomianów o pierwiastkach całkowitych, np.
\(\displaystyle{ W(x) = x^2 + 2x + 1}\) oraz \(\displaystyle{ P(x) = 4x^2 + 8x + 4}\) mają pierwiastek \(\displaystyle{ -1}\), ale \(\displaystyle{ P(x) = 4W(x)}\), dlatego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie biorę pod uwagę.

Z kolei dla np. \(\displaystyle{ W(x) = 2x^2 + 6x - 3}\) zakładam istnienie pierwiastka niecałkowitego, ponieważ współczynnika przy najwyższej potędze nie wyłączę przed nawias w zwyczajny sposób.


Czy taka zależność lub jej podobna jest prawdziwa?
Ostatnio zmieniony 30 gru 2021, o 02:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Post autor: Jan Kraszewski »

A co powiesz o wielomianie \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(2x^2+x+1)=2x^3-x^2-1}\) ?

JK
Warden23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 21 lip 2021, o 18:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23

Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Post autor: Warden23 »

Wielomian \(\displaystyle{ 2x ^{2} + x + 1 }\) ma pierwiastki zespolone, więc nie są całkowite.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Post autor: piasek101 »

Warden23 pisze: 30 gru 2021, o 00:52 Ostatnio zauważyłem pewną zależność przy obliczaniu pierwiastków wielomianu, ale nie wiem czy to prawda. Mianowicie, jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) taki, że współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od \(\displaystyle{ 1}\), to wielomian ten będzie posiadał przynajmniej jeden pierwiastek niecałkowity. Pomijam tu wielokrotności wielomianów o pierwiastkach całkowitych, np.
Podkreślone nie jest prawdziwe i stąd przykład jaki dostałeś.

Kombinujesz w zasadzie dobrze.
Poczytaj tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Post autor: Jan Kraszewski »

Warden23 pisze: 30 gru 2021, o 11:05 Wielomian \(\displaystyle{ 2x ^{2} + x + 1 }\) ma pierwiastki zespolone, więc nie są całkowite.
Nie napisałeś, wielomiany jakiej zmiennej rozważasz. Domyślnie są to wielomiany zmiennej rzeczywistej.

JK
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu

Post autor: matmatmm »

Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wszystkie zespolone pierwiastki całkowite oraz współczynniki są względnie pierwsze, to współczynnik przy najwyższej potędze wynosi \(\displaystyle{ \pm 1}\).
szkic dowodu:    
To daje pozytywną odpowiedź na pytanie autora wątku, jeśli tak rozumieć regułę, według której pomijamy "wielokrotności" wielomianów.
ODPOWIEDZ