Trudne równanie wielomianowe

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Trudne równanie wielomianowe

Post autor: PR713 » 13 wrz 2021, o 15:34

Mam pytanie czy żeby rozwiązać takie równanie \(\displaystyle{ x^3-x+1}\), gdzie pierwiastek tego równania jest bardzo trudny do wyznaczenia i skomplikowany ( sprawdziłem na wolframalpha ), schemat Hornera, twierdzenie o wymiernych pierwiastkach też nie pomoże, a czy można wyznaczyć to miejsce zerowe używając pochodnej, ponieważ nie brałem tego jeszcze w szkole?

Oraz mam pytanie czy może być takie równanie bądź nierówność wielomianowa której nie da się rozwiązać?
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2021, o 15:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Re: Trudne równanie wielomianowe

Post autor: JHN » 13 wrz 2021, o 16:06

Wzory Cardano

Pozdrawiam
PS. Istnieją niesprzeczne równania wielomianowe, których rozwiązania można wskazać co najwyżej w przybliżeniu

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Trudne równanie wielomianowe

Post autor: PR713 » 13 wrz 2021, o 21:07

JHN pisze:
13 wrz 2021, o 16:06
Wzory Cardano

Pozdrawiam
PS. Istnieją niesprzeczne równania wielomianowe, których rozwiązania można wskazać co najwyżej w przybliżeniu
Rozumiem, czyli tak jak napisałem nie da się tego zrobić/ jest to prawie niemożliwe dla niektórych przypadków, a to skomplikowane rozwiązanie o którym pisałem równania \(\displaystyle{ x ^{3}-x+1}\) to jest takiej postaci: https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 2B+1+%3D+0 :)
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2021, o 21:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2081
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 311 razy

Re: Trudne równanie wielomianowe

Post autor: matmatmm » 14 wrz 2021, o 20:41

To równanie ma pierwiastek

\(\displaystyle{ x_1=-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9-\sqrt{69})}}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9-\sqrt{69})}}{3^{\frac{2}{3}}}}\)

Przepisałem z Wolframa i sam w życiu bym go nie odgadł, ale najprawdopodobniej wzory Cardano pozwoliłyby na jego wyznaczenie. Znając jeden pierwiastek wielomianu można wykonać dzielenie przez przez \(\displaystyle{ (x-x_1)}\) i w rezultacie otrzymamy wielomian stopnia 2, który można zbadać za pomocą delty (w tym przypadku delta będzie ujemna, wywnioskowałem to z Wolframa).
PR713 pisze:
13 wrz 2021, o 15:34
a czy można wyznaczyć to miejsce zerowe używając pochodnej, ponieważ nie brałem tego jeszcze w szkole?
Użycie pochodnej niewiele tutaj pomaga.


Oraz mam pytanie czy może być takie równanie bądź nierówność wielomianowa której nie da się rozwiązać?
Zależy co rozumiemy przez rozwiązanie. Mamy twierdzenie, że każdy wielomian (o współczynnikach rzeczywistych) da się zapisać jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. W praktyce możliwa jest sytuacja, że mamy wielomian (np. 5-tego stopnia) i owszem da się go zapisać (zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem) na przykład tak

\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x^2+bx+c)}\)

jednak liczby \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,b,c}\) są niemożliwe do zapisania za pomocą nazwijmy to "jawnego wzoru". Innymi słowy te liczby są, ale w praktyce wyznaczalne jedynie w przybliżeniu.

Dodam jeszcze, że często nawet jeśli szukanie dokładnych pierwiastków wielomianu jest możliwe, to jest tak żmudne, że znajduje się jedynie ich przybliżenia metodami numerycznymi. Mam na myśli oczywiście zastosowania np. w informatyce.

PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Trudne równanie wielomianowe

Post autor: PR713 » 20 wrz 2021, o 21:08

Rozumiem, dziękuję :)

Dodano po 10 godzinach 24 minutach 28 sekundach:
W praktyce możliwa jest sytuacja, że mamy wielomian (np. 5-tego stopnia) i owszem da się go zapisać (zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem) na przykład tak

\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(ax^2+bx+c)}\)

A czy tutaj nie powinien być taki zapis?^^^
Np wielomian stopnia 3 zapisujemy tak w postaci iloczynowej ( jeśli ma np jednej pierwiastek tzn współczynnik "a" występuje w trójmianie, \(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(ax^2+bx+c)}\)

Albo dla wielomanu stopnia 4 z dwukrotnym pierwiastkiem np
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)^2(ax^2+bx+c)}\)
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 10:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj symbolu drugiej potęgi z tablicy znaków.

ODPOWIEDZ