Wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=x}\) i \(\displaystyle{ W(x)=9x^2+2x}\) mają tę własność, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą jedynkową, to \(\displaystyle{ W(x)}\) też jest liczbą jedynkową, Czy są inne wielomiany o tej własności ?
tj. liczby \(\displaystyle{ 1, 11, 111, ....}\)
Wielomian i jedynki
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Wielomian i jedynki
Jest ich nieskończenie wiele.
Przykładowy:
\(\displaystyle{ G(x)=81x^2+27x^2+3x}\)
Konstrukcja jest dość prosta przyjmując że liczby jedynkowe są postaci: \(\displaystyle{ \frac{10^n-1}{9}}\)
Przykładowy:
\(\displaystyle{ G(x)=81x^2+27x^2+3x}\)
Konstrukcja jest dość prosta przyjmując że liczby jedynkowe są postaci: \(\displaystyle{ \frac{10^n-1}{9}}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wielomian i jedynki
Nietrudno pokazać, że:
- dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f(n) = a \cdot n + b}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \NN, b \in \ZZ}\), a ponadto \(\displaystyle{ a+b \ge 1}\), istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\), taki że
\(\displaystyle{ W( \underbrace{1 \ldots 1}_{n} ) = \underbrace{1 \ldots 1}_{f(n)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\);
- każdy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) spełniający warunki zadania jest powyższej postaci.
- dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f(n) = a \cdot n + b}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \NN, b \in \ZZ}\), a ponadto \(\displaystyle{ a+b \ge 1}\), istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\), taki że
\(\displaystyle{ W( \underbrace{1 \ldots 1}_{n} ) = \underbrace{1 \ldots 1}_{f(n)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\);
- każdy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) spełniający warunki zadania jest powyższej postaci.