ostatnia cyfra wyrażenia

[smigol]

Jaka jest ostatnia cyfra wyrażenia \(\displaystyle{ 2007 ^{2006 ^{2005 ^{\ldots ^{2 ^{1} } } } }}\)
No i teraz w potęgach 2007 powtarza się na końcu kolejno: 9,3,1,7,9,3,1....
ale nie wiem czy tak samo się będzie działo z ostatnimi cyframi kolejnych potęg?

[Artist]

\(\displaystyle{ 2007^{2006^{2005^{x}}}}\), gdzie x to te potęgi i \(\displaystyle{ x>1}\)
\(\displaystyle{ 2005\equiv 5 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2005^{2}\equiv 25 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2005^{x}\equiv 25 (mod 100)}\)-Indukcyjnie można.

Mamy, więc,:
\(\displaystyle{ 2007^{2006^{100k+25}}}\) dla k naturalnego;

\(\displaystyle{ 2006\equiv6(mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2006^{25}\equiv6^{25}\equiv76(mod100)}\)
\(\displaystyle{ 2006^{100}\equiv76^{4}\equiv76(mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2006^{100k}\equiv76^{k}\equiv76(mod100)}\) -to można dokładnie udowodnić poprzez indukcję lub dokładniej przez kongruencje.
\(\displaystyle{ 2006^{100k}*2006^{25}\equiv76*76\equiv76(mod100)}\)
Mamy:

\(\displaystyle{ 2007^{2006^{100k}*2006^{25}}=2007^{100l+76}}\) dla l naturalnego

\(\displaystyle{ 2007\equiv7(mod 10)}\)
\(\displaystyle{ 7^{2}\equiv (-1) (mod10)}\)
\(\displaystyle{ 7^{100l}\equiv (-1)^{50l}\equiv 1 (mod 10)}\)
\(\displaystyle{ 7^{76}\equiv (-1)^{38}\equiv 1 (mod 10)}\)

\(\displaystyle{ 2007^{100l+76}=2007^{100l}*2007^{76}\equiv7^{100l}*7^{76}\equiv1*1=1 (mod 10)}\)

Albo krócej:

Zauważ, że \(\displaystyle{ 2006^{2005^{...}}=4k}\), gdyż ta liczba 2006*2006*.....*2006 jest podzielna przez 4. I sobie podstaw do:
\(\displaystyle{ 2007^{4k}}\)

I w swoim ciągu bierz co czwartą (pierwsza jest 7):
7,9,3,1.........