Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1 , x_2 , \ldots , x_n}\) są takie, że \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_1 ^2 + x_2 ^2 + \ldots + x_n ^2 = 1}\).
Udowodnić, że wśród tych liczb są dwie, których iloczyn jest nie większy od \(\displaystyle{ - \frac{1}{n}}\).
Hm, dla mnie jest to "egzotyczne" zadanie, bo co ma ilość liczb do ich wartości, ale jednak coś tam ma
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc z równości z kwadratami można wywnioskować, że każda spośród liczb spełnia nierówność \(\displaystyle{ |x_k | \leqslant 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} \ , \ k \in [1 ; n]}\)
Cóż, pomysłów dużo nie mam, ale pomyślałem nad rozdzieleniem 'iksów' ujemnych i nieujemnych (specjalnie nie dodatnich, bo jednak 0 może chyba wystąpić
).Niech liczb ujemnych będzie \(\displaystyle{ k}\). Wtedy nieujemnych jest \(\displaystyle{ n-k}\).
Przemianujmy dane liczby dodając do ich indeksów 'u' jeśli są ujemne oraz 'd' jeśli są nieujemne.
Mamy więc: \(\displaystyle{ x_{u_{1}} , x_{u_{2}} , \ldots , x_{u_{k}} \ oraz \ x_{d_{1}} , x_{d_{2}} , \ldots , x_{d_{n-k}}}\)
Przy czym oczywiście numer indeksu nie musi odpowiadać nr.owi indeksu w początkowym ułożeniu liczb.
Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie sumą wszystkich liczb ujemnych, natomiast \(\displaystyle{ D}\) sumą liczb nieujemnych. Z pierwszej równości z treści zadania mamy \(\displaystyle{ U+D=0 \ i \ |U| = |D|}\)
Od tego momentu już nie bardzo mam pomysły na to zadanie... próbowałem z braniem pewnej ujemnej i pewnej dodatniej liczby, których moduły są największe, czyli wtedy ich iloczyn będzie najmniejszy, lecz dużo mi nie powychodziło....
Potem jeszcze pomyślałem, że skoro moduł z każdej liczby jest mniejszy od zera, to można by zapisać wszystkie te liczby za pomocą ułamka \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) takiego, że \(\displaystyle{ |p| \leqslant |q|}\) lecz zamieszałem się jeszcze bardziej...
Prosiłbym o jakąś podpowiedź tudzież nakierowanie na następny krok.
Z góry dziękuję za pomoc.
