równanie diofantyczne, uzupełnianie do pełnego kwadratu
: 29 gru 2008, o 13:12
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych (n,m), spełniających równanie:
1/
\(\displaystyle{ 2^{n} +1 = m^{2}}\)
tutaj jedyne co mi przychodzi na myśl to jedynke na drugą stronę i rozłożyć na czynniki. Metodą prób i błędów wychodzi mi, że n=3, m=2. Przydałoby się jednak dowieść, że nie ma innych rozwiązań.
2/ \(\displaystyle{ 2^{n} -1 = m^{2}}\)
no tutaj to w ogóle nie mam pomysłu.
Co do uzupełniania do pełnego kwadratu, to czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, na przykład:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - ab +ac -2bc}\)
uzupełnić do pełnego kwadratu ze względu na a.
Jak można to krok po kroczku to może na tym przykładzie zrozumiem.
ja to robię tak:
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2} \right) ^{2} + \left( b-c\right) ^{2} + a \left(c-b \right) = \left( \frac{a}{2} + \frac{c-b}{2} \right) ^{2} + \left( c-b \right) ^{2} - \frac{ \left( c-b\right) ^{2} }{4} \geqslant 0}\)
gdyż tutaj właściwie o nierówność chodziło.
A powinno wyjść tak: \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2} -b =2 \right) ^{2}}\)
1/
\(\displaystyle{ 2^{n} +1 = m^{2}}\)
tutaj jedyne co mi przychodzi na myśl to jedynke na drugą stronę i rozłożyć na czynniki. Metodą prób i błędów wychodzi mi, że n=3, m=2. Przydałoby się jednak dowieść, że nie ma innych rozwiązań.
2/ \(\displaystyle{ 2^{n} -1 = m^{2}}\)
no tutaj to w ogóle nie mam pomysłu.
Co do uzupełniania do pełnego kwadratu, to czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, na przykład:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - ab +ac -2bc}\)
uzupełnić do pełnego kwadratu ze względu na a.
Jak można to krok po kroczku to może na tym przykładzie zrozumiem.
ja to robię tak:
\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2} \right) ^{2} + \left( b-c\right) ^{2} + a \left(c-b \right) = \left( \frac{a}{2} + \frac{c-b}{2} \right) ^{2} + \left( c-b \right) ^{2} - \frac{ \left( c-b\right) ^{2} }{4} \geqslant 0}\)
gdyż tutaj właściwie o nierówność chodziło.
A powinno wyjść tak: \(\displaystyle{ \left( \frac{a}{2} -b =2 \right) ^{2}}\)