Kwadraty liczb, podzielność przez 24

[patry93]

Witam.

Liczby naturalne \(\displaystyle{ n + 1 \ i \ 2n + 1}\) są kwadratami liczb naturalnych. Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez 24.

Definiuję pewne liczby naturalne a i b takie, że
\(\displaystyle{ n+1 = a^2 \\ 2n+1 = b^2}\)
Odejmuję stronami równanie drugie od pierwszego i otrzymuję
\(\displaystyle{ b^2 - a^2 = 2n+1-n-1 = n \\ (b-a)(b+a)=n}\)
Z dwóch początkowych równań wyznaczam \(\displaystyle{ n}\) i przyrównuję
\(\displaystyle{ a^2 - 1 = \frac{b^2 - 1}{2} \\ 2a^2 - 2 = b^2 - 1 \\ 2 = \frac{b^2 - 1}{a^2 - 1}}\)
Tutaj nie jestem pewny czy można, ale robię tak
\(\displaystyle{ \frac{b^2 - 1}{a^2 - 1} = 2 \equiv 0 (mod \ 2) \\ b^2-1 \equiv 0 (mod \ 2) b \equiv 1 (mod \ 2)}\)
Tutaj "niby" pomnożyłem stronami przez \(\displaystyle{ a^2 - 1}\), choć domyślam się, że tak nie można raczej...
Hm... nie wiem co dalej :/

Z góry dziękuję za pomoc.

[Wasilewski]

Proponuję rozważyć, jakie reszty z dzielenia przez 3 i przez 8 może dawać kwadrat liczby naturalnej.

[patry93]

Hm... no tak
Wykazałem, że \(\displaystyle{ n}\) będzie podzielne przez 3 dla \(\displaystyle{ a}\) dającego resztę równą 1 lub 2 przy dzieleniu przez 3, natomiast będzie podzielne przez 8 dla \(\displaystyle{ a}\) dającego resztę równą 0 lub 4 przy dzieleniu przez 8.
Więc przy dowolnych kombinacjach tych liczb mam podzielność przez 24.
Czy tylko to, że istnieje choć jedna taka liczba podzielna przez 3 i 8 dowodzi już podzielności dla każdego \(\displaystyle{ n}\) przez 24?
Albo inaczej - nie muszę sprawdzać jak wyglądają te liczby, które dają te wyliczone reszty przy dzieleniu przez 3 i 8, prawda?

[Wasilewski]

Wydaje mi się, że nie rozumiem, co zrobiłeś, ale chyba niedobrze. Nie możesz sobie wybierać, dla jakich a będzie dobrze. Musisz pokazać, na przykład, że n musi być podzielne przez 3, bo w przeciwnym przypadku kwadrat liczby naturalnej dawałby resztę 2 z dzielenia przez 3, co nie jest możliwe. I tak samo dla ósemki.