Witam. Pytanie brzmi czy jakakolwiek funkcja z poniższego szeregu ma jakiekolwiek miejsca zerowe (poza miejscem zerowym funkcji *\(\displaystyle{ f_{1}}\))?
\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b-1}{2^{a} \cdot b-1}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{2}=\frac {\frac {3^{c} \cdot d-1}{3^{a} \cdot b-1}}{\frac {2^{a} \cdot b-1}{2^{c} \cdot d-1}}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{3}=\frac {\frac {\frac {3^{e} \cdot f-1}{3^{c} \cdot d-1}}{3^{a} \cdot b-1}}{\frac {\frac {2^{a} \cdot b-1}{2^{c} \cdot d-1}}{2^{e}\cdot f-1}}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{4}= itd.}\)
Wszystkie zmienne to liczby całkowite dodatnie oraz chodzi mi tylko o takie przypadki, że liczniki (oraz mianowniki) są od siebie różne.
* Pierwsza funkcja ma jedno znane miejsce zerowe dla parametrów a=1, b=1, x=2.
[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 18:24 ]
Skoro nikt nie odpowiada to odpowiem sobie sam. Na pewno funkcja:
\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b-1}{2^{a} \cdot b-1}-2^{x}}\)
nie ma więcej miejsc zerowych niż dla a=1. b=1 i x=1, ponieważ wynika to z jej wykresu. Niestety pozostałych funkcji nie potrafię narysować.
Zadanie na śniadanie - szereg funkcyjny wielu zmiennych
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Zadanie na śniadanie - szereg funkcyjny wielu zmiennych
Dodam jeszcze, chyba tylko jako ciekawostkę, iż dla podobnych funkcji:
\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b+1}{2^{a} \cdot b+1}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{2}=\frac {\frac {3^{c} \cdot d+1}{3^{a} \cdot b+1}}{\frac {2^{a} \cdot b+1}{2^{c} \cdot d+1}}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{3}=\frac {\frac {\frac {3^{e} \cdot f+1}{3^{c} \cdot d+1}}{3^{a} \cdot b+1}}{\frac {\frac {2^{a} \cdot b+1}{2^{c} \cdot d+1}}{2^{e}\cdot f+1}}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{4}= itd.}\)
Są znane dwa miejsca zerowe. Dla funkcji pierwszej dla parametrów a=2, b=1 oraz dla funkcji drugiej dla parametrów a=4, b=1, c=3, d=5.
Inną ciekawostką może być fakt, iż pewne jest, że dla liczb postaci \(\displaystyle{ 3^{e} \cdot f+1}\) lub \(\displaystyle{ 3^{e} \cdot f-1}\) lub \(\displaystyle{ 2^{e} \cdot f+1}\) lub \(\displaystyle{ 2^{e} \cdot f-1}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 2^{58}}\) miejsc zerowych dla żadnego z dwóch powyższych szeregów nie ma (oprócz tych zanych).
\(\displaystyle{ f_{1}=\frac {3^{a} \cdot b+1}{2^{a} \cdot b+1}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{2}=\frac {\frac {3^{c} \cdot d+1}{3^{a} \cdot b+1}}{\frac {2^{a} \cdot b+1}{2^{c} \cdot d+1}}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{3}=\frac {\frac {\frac {3^{e} \cdot f+1}{3^{c} \cdot d+1}}{3^{a} \cdot b+1}}{\frac {\frac {2^{a} \cdot b+1}{2^{c} \cdot d+1}}{2^{e}\cdot f+1}}-2^{x}}\)
\(\displaystyle{ f_{4}= itd.}\)
Są znane dwa miejsca zerowe. Dla funkcji pierwszej dla parametrów a=2, b=1 oraz dla funkcji drugiej dla parametrów a=4, b=1, c=3, d=5.
Inną ciekawostką może być fakt, iż pewne jest, że dla liczb postaci \(\displaystyle{ 3^{e} \cdot f+1}\) lub \(\displaystyle{ 3^{e} \cdot f-1}\) lub \(\displaystyle{ 2^{e} \cdot f+1}\) lub \(\displaystyle{ 2^{e} \cdot f-1}\) mniejszych od \(\displaystyle{ 2^{58}}\) miejsc zerowych dla żadnego z dwóch powyższych szeregów nie ma (oprócz tych zanych).