Przestawienie cyfr, podzielność
: 24 gru 2008, o 21:19
Witam.
Liczba otrzymana w wyniku przestawienia cyfr zapisu dziesiętnego pewnej liczby naturalnej, jest od niej trzy razy większa. Udowodnić, że liczba ta jest podzielna przez 27.
Robiłem tak:
Początkowa liczba: \(\displaystyle{ X_1 = 10^x a_x + 10^{x-1} a_{x-1} + \ldots + 10a_1 + a_0}\)
Liczba po przestawieniu: \(\displaystyle{ X_2 = 10^x a_0 + 10^{x-1} a_1 + \ldots + 10a_{x-1} + a_x}\)
Z treści zadania mam: \(\displaystyle{ X_2 = 3X_1 \ (1)}\), zatem pozostało udowodnić podzielność przez 9 (bo w sumie podzielność przez 3 otrzymujemy automatycznie...)
\(\displaystyle{ 10 \equiv 1 (mod 9) \\ X_1 \equiv a_x+a_{x-1} + \ldots + a_1 + a_0 \equiv X_2 (mod 9) \\ X_2-X_1 \equiv 0 (mod 9) \ \ X_2 - X_1 = 9k}\)
Z (1) mam \(\displaystyle{ X_1 = \frac{X_2}{3}}\)
Podstawiam do równości z 9k...
\(\displaystyle{ X_2 - \frac{X_2}{3} = 9k \\ 2X_2 = 27k}\)
2 nie jest dzielnikiem 27, zatem \(\displaystyle{ X_2}\) jest podzielne przez 27 (czuję, że blef lub "nieścisłość".... :/ ) c.k.d.
Proszę o znalezienie błędów, które zapewne wystąpiły...
Z góry dziękuję za pomoc.
Liczba otrzymana w wyniku przestawienia cyfr zapisu dziesiętnego pewnej liczby naturalnej, jest od niej trzy razy większa. Udowodnić, że liczba ta jest podzielna przez 27.
Robiłem tak:
Początkowa liczba: \(\displaystyle{ X_1 = 10^x a_x + 10^{x-1} a_{x-1} + \ldots + 10a_1 + a_0}\)
Liczba po przestawieniu: \(\displaystyle{ X_2 = 10^x a_0 + 10^{x-1} a_1 + \ldots + 10a_{x-1} + a_x}\)
Z treści zadania mam: \(\displaystyle{ X_2 = 3X_1 \ (1)}\), zatem pozostało udowodnić podzielność przez 9 (bo w sumie podzielność przez 3 otrzymujemy automatycznie...)
\(\displaystyle{ 10 \equiv 1 (mod 9) \\ X_1 \equiv a_x+a_{x-1} + \ldots + a_1 + a_0 \equiv X_2 (mod 9) \\ X_2-X_1 \equiv 0 (mod 9) \ \ X_2 - X_1 = 9k}\)
Z (1) mam \(\displaystyle{ X_1 = \frac{X_2}{3}}\)
Podstawiam do równości z 9k...
\(\displaystyle{ X_2 - \frac{X_2}{3} = 9k \\ 2X_2 = 27k}\)
2 nie jest dzielnikiem 27, zatem \(\displaystyle{ X_2}\) jest podzielne przez 27 (czuję, że blef lub "nieścisłość".... :/ ) c.k.d.
Proszę o znalezienie błędów, które zapewne wystąpiły...
Z góry dziękuję za pomoc.