Równanie diofantyczne, pary liczb

patry93 · Post autor: **patry93** » 24 gru 2008, o 13:34

Witam.

Wyznaczyć wszystkie pary (x,y) liczb dodatnich spełniających równanie
\(\displaystyle{ x(x+1)^2 + y(y+1)^2 = 8xy}\)

Doszedłem do postaci
\(\displaystyle{ 2(x-y)^2 + x^3 + y^3 +x+y-4xy=0}\)
ale chyba nie w tę stronę trzeba iść....

Z góry dziękuję za pomoc i wesołych świąt!

frej · Post autor: **frej** » 24 gru 2008, o 13:44

\(\displaystyle{ x^3+x^2+x^2+x+y^3+y^2+y^2+y \stackrel {AM-GM}{\ge} 8xy}\)

patry93 · Post autor: **patry93** » 24 gru 2008, o 13:46

:O
Czyli równość zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy x=y ?
W ogóle w jaki sposób to zauważyłeś?

frej · Post autor: **frej** » 24 gru 2008, o 14:04

Dokładnie \(\displaystyle{ x^3=x^2=x=y=y^2=y^3}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=1}\)

Szczerze powiedziawszy nie wiem, jak na to wpadłem. Patrzę i jest
A tak w zasadzie, to jak rozwiązałem to zadanie, to zdałem sobie sprawę, że taka metoda nazywa się metodą jednoznaczności i jest o tym w "Kółku" Pawłowskiego.