Rozwiaz:
\(\displaystyle{ n ( n + 1 ) = 2 m ^{2}}\) np. n=8, m=6 lub n = 49, m= 35.
Dzieki za pomoc
Bimb
mnozenie dwoch kolejnych liczb
-
Artist
- Użytkownik
- Posty: 865
- Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 239 razy
mnozenie dwoch kolejnych liczb
To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wystarczy, że wyprowadzisz m lub n i będziesz sobie podstawiał wartości:
\(\displaystyle{ m=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}}\). Podstawiaj sobie za n.
A jeśli chodzi o naturalne n i m to:
\(\displaystyle{ m=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{\sqrt{2n(n+1)}}{2}}\)
Licznik jest podzielny przez dwa dla każdego n naturalnego, jako iloczyn pierwiastek z iloczynu 2 i liczby parzystej.
Wystarczy teraz sprawdzić dla jakich n \(\displaystyle{ 2n(n+1)}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Można zauważyć że albo n albo n+1 musi być kwadratem I do dzieła.
Dla n=288 m=204.
Dla n=1681 m=1189.
Dla n=9800 m=6930.
\(\displaystyle{ m=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}}\). Podstawiaj sobie za n.
A jeśli chodzi o naturalne n i m to:
\(\displaystyle{ m=\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{\sqrt{2n(n+1)}}{2}}\)
Licznik jest podzielny przez dwa dla każdego n naturalnego, jako iloczyn pierwiastek z iloczynu 2 i liczby parzystej.
Wystarczy teraz sprawdzić dla jakich n \(\displaystyle{ 2n(n+1)}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Można zauważyć że albo n albo n+1 musi być kwadratem I do dzieła.
Dla n=288 m=204.
Dla n=1681 m=1189.
Dla n=9800 m=6930.
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
mnozenie dwoch kolejnych liczb
Ponieważ NWD(n,n+1)=1, to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ n=a^2 (n+1)=2b^2 a^2+1=n+1=2b^2 \iff 2b^2-a^2=1}\)
albo:
\(\displaystyle{ n=2a^2 (n+1)=b^2 2a^2+1=n+1=b^2 \iff b^2-2a^2=1}\)
Te dwa równania można rozwiązać znajdując jakieś najmniejsze naturalne (mamy liczby pod kwadratami, więc dla ustalenia uwagi niech będą naturalne bądź zerem) rozwiązanie, a następnie należy utworzyć ciąg rekurencyjny, którego każdy wyraz będzie spełniał to równanie (czyli nieskończenie wiele rozwiązań). Następnie zakładając, że istnieje rozwiązanie nie należące do powyższego ciągu rekurencyjnego układamy nowy ciąg rozwiązań (chyba bardzo podobny do tego pierwszego, ale nie pamiętam dokładnie metody, a aktualnie nie mam czasu tego sprawdzić), który jest malejący i żaden tego ciągu nie należy do ciągu pierwszego. Ale ciąg liczb naturalnych nie może być nieskończenie malejący - i tu należy stwierdzić sprzeczność z możliwością istnienia rozwiązań nie należących do pierwszego ciągu rekurencyjnego.
Ta metoda to metoda nieskończonego schodzenia i jest opisana w "Złotych Rybkach w Oceanie Matematyki", z pewnością też jest opisana w Internecie. Nie zaszkodzi też poczytać:
\(\displaystyle{ n=a^2 (n+1)=2b^2 a^2+1=n+1=2b^2 \iff 2b^2-a^2=1}\)
albo:
\(\displaystyle{ n=2a^2 (n+1)=b^2 2a^2+1=n+1=b^2 \iff b^2-2a^2=1}\)
Te dwa równania można rozwiązać znajdując jakieś najmniejsze naturalne (mamy liczby pod kwadratami, więc dla ustalenia uwagi niech będą naturalne bądź zerem) rozwiązanie, a następnie należy utworzyć ciąg rekurencyjny, którego każdy wyraz będzie spełniał to równanie (czyli nieskończenie wiele rozwiązań). Następnie zakładając, że istnieje rozwiązanie nie należące do powyższego ciągu rekurencyjnego układamy nowy ciąg rozwiązań (chyba bardzo podobny do tego pierwszego, ale nie pamiętam dokładnie metody, a aktualnie nie mam czasu tego sprawdzić), który jest malejący i żaden tego ciągu nie należy do ciągu pierwszego. Ale ciąg liczb naturalnych nie może być nieskończenie malejący - i tu należy stwierdzić sprzeczność z możliwością istnienia rozwiązań nie należących do pierwszego ciągu rekurencyjnego.
Ta metoda to metoda nieskończonego schodzenia i jest opisana w "Złotych Rybkach w Oceanie Matematyki", z pewnością też jest opisana w Internecie. Nie zaszkodzi też poczytać:
Kod: Zaznacz cały
http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_Pella-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
mnozenie dwoch kolejnych liczb
Pewnie chodziło o to, żeby podać wszystkie rozwiązania tego równania w liczbach całkowitych.
Można to zrobić rozpatrując dwa przypadki sprowadzające się do równań Pella:
(i) \(\displaystyle{ n= 2k}\) podstawiając do równania skracając przez \(\displaystyle{ 2}\) i korzystając z tego, że \(\displaystyle{ k, \ 2k+1}\) są względnie pierwsze dostajemy \(\displaystyle{ k = u^{2}, \ 2k + 1 = v^{2}}\), dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ u,v}\) i stąd rówanie Pella:
\(\displaystyle{ v^{2} - 2u^{2} = 1}\)
(ii) \(\displaystyle{ n= 2k - 1}\) w analogiczny sposób jak wyżej dostajemy \(\displaystyle{ k = u^{2}, \ 2k - 1 = v^{2}}\) i do rozwiązania równanie Pella:
\(\displaystyle{ v^{2} - 2u^{2} = -1}\)
edit O, widzę, że się spóźniłem:)
To jeszcze dopiszę rozwiązania tych równań:
(i) \(\displaystyle{ v = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^{i} + (3 - 2\sqrt{2})^{i}}{2}, \ u =\frac{(3 + 2\sqrt{2})^{i} - (3 - 2\sqrt{2})^{i}}{2\sqrt{2}}}\)
(ii) \(\displaystyle{ v = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2i + 1} + (1 - \sqrt{2})^{2i + 1}}{2}, \ u = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2i + 1} - (1 - \sqrt{2})^{2i + 1}}{2\sqrt{2}}}\)
Można to zrobić rozpatrując dwa przypadki sprowadzające się do równań Pella:
(i) \(\displaystyle{ n= 2k}\) podstawiając do równania skracając przez \(\displaystyle{ 2}\) i korzystając z tego, że \(\displaystyle{ k, \ 2k+1}\) są względnie pierwsze dostajemy \(\displaystyle{ k = u^{2}, \ 2k + 1 = v^{2}}\), dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ u,v}\) i stąd rówanie Pella:
\(\displaystyle{ v^{2} - 2u^{2} = 1}\)
(ii) \(\displaystyle{ n= 2k - 1}\) w analogiczny sposób jak wyżej dostajemy \(\displaystyle{ k = u^{2}, \ 2k - 1 = v^{2}}\) i do rozwiązania równanie Pella:
\(\displaystyle{ v^{2} - 2u^{2} = -1}\)
edit O, widzę, że się spóźniłem:)
To jeszcze dopiszę rozwiązania tych równań:
(i) \(\displaystyle{ v = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^{i} + (3 - 2\sqrt{2})^{i}}{2}, \ u =\frac{(3 + 2\sqrt{2})^{i} - (3 - 2\sqrt{2})^{i}}{2\sqrt{2}}}\)
(ii) \(\displaystyle{ v = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2i + 1} + (1 - \sqrt{2})^{2i + 1}}{2}, \ u = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2i + 1} - (1 - \sqrt{2})^{2i + 1}}{2\sqrt{2}}}\)