Witam, to moj pierwszy post na forum
A oto ciekawe zadanie z konkursu:
Wykazac, ze pewna wielokrotnosc dowolnej liczby naturlanej n niepodzielnej przez 2 i 5 jest postaci 777...7.
liczba postaci 777...7
-
MagdaW
- Użytkownik
- Posty: 760
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z Lublina
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 177 razy
liczba postaci 777...7
Z zasaddy szufladkowej Dirichleta:
Rozpatrzmy reszty z dzielenia przez n liczb: 7, 77, 777, ... 777...777. W ostatniej liczbie niech będzie n siódemek. Jeżeli któraś z otrzymanych reszt wynosi 0, to jest to ta szukana liczba. Z ZSD wynika, że istnieją wśród pozostałych n-1 możliwych reszt i n liczb dwie dające taką samą resztę. Ich różnica będzie postaci 777....777000...000. Wiemy,że n jest niepodzielne przez 10, więc ta różnica będzie szukaną wielokrotnościa razy potęga dziesiątki, stąd można podzielić tą różnicę przez potęgę dziesiątki i otrzymamy szukaną liczbę będącą wielokrotnością n.
Rozpatrzmy reszty z dzielenia przez n liczb: 7, 77, 777, ... 777...777. W ostatniej liczbie niech będzie n siódemek. Jeżeli któraś z otrzymanych reszt wynosi 0, to jest to ta szukana liczba. Z ZSD wynika, że istnieją wśród pozostałych n-1 możliwych reszt i n liczb dwie dające taką samą resztę. Ich różnica będzie postaci 777....777000...000. Wiemy,że n jest niepodzielne przez 10, więc ta różnica będzie szukaną wielokrotnościa razy potęga dziesiątki, stąd można podzielić tą różnicę przez potęgę dziesiątki i otrzymamy szukaną liczbę będącą wielokrotnością n.