Istnienie liczb pierwszych spełniających układ kongruencji

[max]

Kiedyś trafiłem na taki problem i do dzisiaj nie znam odpowiedzi:
Czy istnieją \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_{3} = \{3, 4, 5, \ldots\}}\) i \(\displaystyle{ p_{1}, \ldots, p_{n}}\) parami różne liczby pierwsze takie, że \(\displaystyle{ p_{i}\not\equiv 1\pmod{p_{j}}}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j}\), że dla każdego \(\displaystyle{ l \{1, \ldots, n\}}\) istnieją \(\displaystyle{ k\in \{1, \ldots, n\}}\) i parami różne \(\displaystyle{ j_{1},\ldots j_{k}\in \{1,\ldots, n\}}\), że zachodzi:
\(\displaystyle{ p_{j_{1}}\cdot \ldots p_{j_{k}} \equiv 1 od{p_{l}}}\) ?

(z odpowiedzi negatywnej wynikałoby istnienie ciekawego rozwiązania pewnego innego problemu).

[Ponewor]

Istnieją. Przyjmijmy \(\displaystyle{ n=3}\) i rozwiążmy następujące zadanie w liczbach całkowitych, które zadał mi kiedyś porfirion:

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich o tej własności, że iloczyn dowolnych dwóch z nich daje resztę jeden przy dzieleniu przez trzecią.

Ukryta treść:    

No to założenia nam mówią, że \(\displaystyle{ a, \ b, \ c \ge 2}\), oraz, że zachodzą podzielności \(\displaystyle{ c \mid ab-1}\) i tak dalej cyklicznie. A skoro \(\displaystyle{ c \mid bc \wedge c \mid ca \Rightarrow c \mid ab+bc+ca-1}\) i tak dalej cyklicznie. Nietrudno zauważyć, że niewiadome muszą być parami względnie pierwsze, a więc \(\displaystyle{ abc \mid ab+bc+ca-1}\), a skoro prawa strona podzielności jest dodatnia, to mamy \(\displaystyle{ ab+bc+ca-1 \ge abc=\frac{1}{3}abc+\frac{1}{3}abc+\frac{1}{3}abc \ge ab+bc+ca}\), czyli sprzeczność przy założeniu, że wszystkie niewiadome są większe równe trzy. Niech bso \(\displaystyle{ c=2}\), wtedy mamy \(\displaystyle{ 2a+2b-1 \ge ab =\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab \ge 2a+2b}\), czyli sprzeczność przy założeniu, że pozostałe niewiadome są większe równe cztery. Zatem jedna z nich jest mniejsza od czterech, ale musi być większa od dwójki, bo są parami względnie pierwsze. Niech bso \(\displaystyle{ b=3}\), wówczas mamy nierówność \(\displaystyle{ 5 \ge a}\), a ponieważ są parami względnie pierwsze to \(\displaystyle{ a=5}\). Łatwo sprawdzić, że trójka \(\displaystyle{ 2, \ 3, \ 5}\) i jej nietożsamościowe permutacje spełniają warunki zadania.

Trójka liczb pierwszych \(\displaystyle{ \left( 2, \ 3, \ 5 \right)}\) spełnia wszystkie warunki.