Równanie, pary liczb

[patry93]

Witam.

Znaleźć wszystkie pary (x, y) liczb całkowitych dodatnich spełniających równianie \(\displaystyle{ 2 3^x = 7y+5}\)

Lewa strona jest bez wątpienia parzysta, więc y musi być nieparzyste, aby prawa strona też była parzysta.
Można też zrozumieć zapis po prawej stronie tak, że lewa strona musi dawać resztę równą 5 przy dzieleniu przez 7.
Mamy więc \(\displaystyle{ 2 3^x \equiv 5 (mod \ 7)}\)
Nie bardzo wiem jak to rozwiązać... (o ile sam pomysł dobry )

Z góry dziękuję za pomoc.

[frej]

Hmm, pewnie to co zaraz napiszę nie pomoże za bardzo, ale co tam...

Przekształćmy to do postaci
\(\displaystyle{ 2(3^x-6)=7(y-1)}\)
Widać, że \(\displaystyle{ y=2k+1}\), zaś po przeanalizowaniu reszt \(\displaystyle{ mod 7}\) widać, że \(\displaystyle{ x=7l+3}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ 2(27\cdot (3^7)^l-6)=7(2k+1-1) \\ 6(9\cdot (3^7)^l-2)=14k \\ 3(9(3^7)^l-2)=7k}\)

Widać zatem, że
\(\displaystyle{ k=3k' \\ l=6l'}\)
\(\displaystyle{ 9(3^{42})^{l'}-2=7k'}\)
\(\displaystyle{ 9((3^{42})^{l'}-1)=7(k'-1)}\)
Wobec czego musi zachodzić
\(\displaystyle{ k''=9k'+1}\)

Ostateczna postać do której poszedłem to
\(\displaystyle{ \boxed{(3^{42})^{l'}-1=7k''}}\)

Widać, że \(\displaystyle{ k''=0=l'}\) pasuje, lecz nie wiem do dalej. Ciężko jest mi znaleźć dzielniki liczby \(\displaystyle{ 3^{42}-1}\), więc nie wiem co dalej...

Mam nadzieję, że ktoś niedługo to rozwiąże.

PS
Skąd masz te zadanie?

[MagdaW]

Hmm... To nie jest rozwiązanie ale jedna z par spełniających to para (3, 7)

[Sylwek]

Wystarczy znaleźć takie x, że:
\(\displaystyle{ 2 3^x \equiv 5 \equiv 12 \ (mod \ 7) \iff 3^x \equiv 6 \ (mod \ 7) \iff x=6k+3}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ (x,y)=(6k+3, \frac{2 27^{2k+1}-5}{7})}\) dla każdego k nieujemnego.

[frej]

Kurczę, a ja szukałem liczby rozwiązań, które da się policzyć na palcach...

[patry93]

frej - co to są te takie apostrofy? Zadanie mam z broszurki OMG

Noooo, Sylwek, geniuszu - dzięki
Rozumiem, że kluczowy był "zabieg" zamienienia 5 na 12 oraz podzielność tej kongruencji była możliwa tylko dlatego, że 2 i 7 są względnie pierwsze?